Перпендикулярность плоскостей
Две плоскости, которые пересекаются, называются
перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих двух плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (см. рисунок).
Любая плоскость, перпендикулярная к прямой пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Признак перпендикулярности плоскостей
Теорема 1. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (см. рисунок).
Теорема 2. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и ко второй плоскости (см. рисунок).
Пример применения теоремы 2
Пусть есть две перпендикулярные плоскости
и
, которые пересекаются по прямой
a (см. рисунок). Найти расстояние от точки
A, которая лежит в плоскости
и не лежит в плоскости
, плоскости
.
В плоскости
строим перпендикуляр к
a через точку
A. Пусть он пересекает
a в точке
B.
AB - искомое расстояние.
Обратите внимание на такое.
1. Через точку вне плоскости можно провести множество плоскостей, перпендикулярных к этой плоскости (см. рисунок). (Но все они пройдут через перпендикулярную к этой плоскости прямую, которая проходит через данную точку.)
2. Если плоскость перпендикулярна к данной плоскости, то это не значит, что она перпендикулярна и к произвольной прямой, параллельной этой плоскости.
Например, на рисунке ниже
,
и
пересекаются по прямой
b,
причем
a входит в одной из плоскостей
и
. Следовательно, прямая
a в то же время параллельная двум перпендикулярным плоскостям.
3. Если плоскость и прямая, не принадлежащая этой плоскости, перпендикулярные к одной и той же плоскости, плоскость и прямая параллельны.
На рисунке:
;
;
.
4. Через произвольную прямую, которая перпендикулярна к данной плоскости, можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной.
5. Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, которая является перпендикулярной к одной из этих плоскостей проходит через их общую точку, обязательно будет лежать в другой плоскости (см. рисунок).
