Все предметы
ВНО 2016
Конспекты уроков
Опорные конспекты
Учебники PDF
Учебники онлайн
Библиотека PDF
Словари
Справочник школьника
Мастер-класс для школьника

Геометрия

Стереометрия

Перпендикулярность плоскостей

Две плоскости, которые пересекаются, называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих двух плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым (см. рисунок).

Любая плоскость, перпендикулярная к прямой пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Признак перпендикулярности плоскостей
Теорема 1. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны (см. рисунок).

Теорема 2. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и ко второй плоскости (см. рисунок).

Пример применения теоремы 2
Пусть есть две перпендикулярные плоскости и , которые пересекаются по прямой a (см. рисунок). Найти расстояние от точки A, которая лежит в плоскости и не лежит в плоскости , плоскости .

В плоскости строим перпендикуляр к a через точку A. Пусть он пересекает a в точке B. AB - искомое расстояние.
Обратите внимание на такое.
1. Через точку вне плоскости можно провести множество плоскостей, перпендикулярных к этой плоскости (см. рисунок). (Но все они пройдут через перпендикулярную к этой плоскости прямую, которая проходит через данную точку.)

2. Если плоскость перпендикулярна к данной плоскости, то это не значит, что она перпендикулярна и к произвольной прямой, параллельной этой плоскости.
Например, на рисунке ниже , и пересекаются по прямой b, причем a входит в одной из плоскостей и . Следовательно, прямая a в то же время параллельная двум перпендикулярным плоскостям.

3. Если плоскость и прямая, не принадлежащая этой плоскости, перпендикулярные к одной и той же плоскости, плоскость и прямая параллельны.
На рисунке: ; ; .

4. Через произвольную прямую, которая перпендикулярна к данной плоскости, можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данной.
5. Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, которая является перпендикулярной к одной из этих плоскостей проходит через их общую точку, обязательно будет лежать в другой плоскости (см. рисунок).