Перпендикулярность прямых и плоскостей

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Теорема 1. Если две прямые, которые пересекаются, параллельны соответственно двум другим перпендикулярным прямым, то другие прямые тоже перпендикулярны.
Теорема 2. Через любую точку прямой в пространстве можно провести множество перпендикулярных к ней прямых (см. рисунок). (Все прямые лежат в плоскости, которая перпендикулярна к данной прямой и пересекает ее в данной точке.)

Через любую точку в пространстве, которое не принадлежит данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную к данной, и только одну. Это будет и перпендикулярна к данной прямой прямая, которая лежит в плоскости, определенной данным прямой и точкой:

Обратите внимание, что в пространстве две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, не обязательно параллельны между собой.
На рисунке ; .

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходит через точку пересечения (см. рисунок).

Теорема 3. Если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости и пересекаются, то она перпендикулярна к данной плоскости (см. рисунок).

Обратите внимание: если прямая перпендикулярна к одной прямой плоскости, то этого не достаточно для перпендикулярности прямой и плоскости.
На рисунке , но a не перпендикулярна , в частности a не перпендикулярна к с.

Теорема 4. Через точку, не принадлежащую данной плоскости, можно провести прямую, перпендикулярную к данной плоскости, и только одну.
Теорема 5. Через данную точку плоскости можно провести одну, и только одну, перпендикулярную к ней прямую.
Теорема 6. Через данную точку прямой можно провести одну, и только одну, перпендикулярную к ней плоскость.
Теорема 7. Через точку, которая не лежит на прямой, можно провести одну, и только одну плоскость, перпендикулярную к данной прямой.
Теорема 8. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй.
На рисунке ; ; .

Теорема 9. Две прямые, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.