Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некотором кругу. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Теорема 1. Правильный выпуклый многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности.
Вписанный и описанный окружности правильного многоугольника имеют один и тот же центр, который называется центром многоугольника. Угол, под которым виден сторону правильного многоугольника с этого центра, называется центральным углом многоугольника. На рисунке - центральный угол многоугольника.

;
;
.


Теорема 2. Правильные выпуклые n-угольники подобны. В частности, если у них стороны равны, то такие n-угольники уровне.
Правильный треугольник (равносторонний)
На рисунке:
;
;
; ;

;

: ;
;; ;
; ;
; ; ;
.
Правильный четырехугольник (квадрат)
На рисунке: ;
;

; ;
; ; ;
- равнобедренные прямоугольные треугольники.

Правильный шестиугольник
На рисунке: ;
; сторона а;
; ;
; ;
- равносторонние треугольники;
ABCD - равносторонняя трапеция с углами и ;
, ;
- равнобедренный;
; ;
; .
Диагональ .

Обратите внимание: если соединить последовательно середины сторон правильного n-угольника, получим правильный n-угольник (см. рисунки).

Если через вершины правильного n-угольника провести касательные к описанной вокруг него окружности, получим правильный n-угольник.
Если соединить через одну вершины правильного 2n-угольника, получим правильный n-угольник.