Решение неравенств с одной переменной
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое превращает его в верное числовое неравенство.
Решить неравенство - значит найти все ее решения или доказать, что их нет.
Два неравенства называют
равносильными, если они имеют одни и те же решения или не имеют решений.
Числовые промежутки
Множество всех действительных чисел, меньших 10, называют промежуток от минус бесконечности до 10 и обозначают
. На координатной прямой эти числа располагаются слева от числа 10, что можно наглядно изобразить так, как это сделано на рисунке слева или на рисунке справа:
Обратите внимание: когда на координатной прямой изображают числовые промежутки, 0 и единичный отрезок не обозначают.
Множество всех чисел, не больших 10, записывают в виде
и изображают так, как это сделано на рисунке слева или на рисунке справа:
Другие случаи изображения числовых промежутков на координатной прямой приведены на рисунках ниже:
x - произвольное число
Свойства неравенств с переменными
1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное данному.
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.
3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Множества решений неравенств можно записать в виде промежутков.
Примеры
1)
,
,
,
,
.
Ответ:
(можно записать в виде
.
2)
,
,
,
,
.
Ответ:
(нет решения).
3)
,
,
.
Ответ:
x - произвольное число (или
.
4) Примеры неравенств, которые имеют один или несколько изолированных решений:
а)
, б)
,
;
,
.
5) При каких значениях
х имеет смысл выражение
?
Это выражение имеет смысл при тех и только тех значениях
х, которые являются решениями неравенства
,
.
Ответ:
.