Теорема Виета

Теорема 1 (Viète). Если незведене квадратное уравнение имеет два корня, то , .
Если суммарная квадратное уравнение имеет два корня, то ; .
Когда уравнение имеет один корень, его можно считать за два равных . Тогда для незведеного квадратного уравнения ; ; для сводного , .
Обратите внимание: для того чтобы воспользоваться формулами теоремы Виета, надо сначала убедиться в наличии корней уравнения, проверив знака его дискриминанта.
Примеры
Найти сумму и приложение корней уравнения.
1) ;
- положительное число, и это означает, что уравнение имеет два корня.
Следовательно, ; .
2) ;
- отрицательное число.
Уравнение не имеет корней, найти их сумму и произведение невозможно.
Теорема 2 (обратная теорема Виета для возведенных квадратных уравнений). Если сумма и произведение чисел и равны соответственно p и q, то и являются корнями уравнения .
Из теоремы Виета следует, что целые решения уравнения являются делителями числа q. Пользуясь обратной теоремой, можно проверить, является ли та или иная пара делителей q корнями данного уравнения. Это дает возможность устно решать значительное количество возведенных квадратных уравнений.
Во время решения надо также учитывать такие выводы из теоремы Виета.
1. Если , и имеют разные знаки.
2. Если , и оба отрицательные или оба положительные. Знак и является противоположным знака p.
Пример
.
По теореме Виета:
; ; .
Очевидно, что .
Ответ: ; .