2-й семестр

МЕХАНИКА

4. Механические колебания и волны

Урок 3/62

Тема. Колебания груза на пружине. Математический маятник

Цель урока: ознакомить учащихся с законами колебаний пружинного и математического маятников

Тип урока: изучение нового материала

План урока

ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

1. Процесс колебаний пружинного маятника

Для того, чтобы описать колебания (листья и колосья; воздуха в органных трубах и трубах духовых музыкальных инструментов); для расчета вибрации (корпусов автомашин, укрепленных на рессорах; фундаментов зданий и станков), введем модель реальных колебательных систем - пружинный маятник.

Ø Пружинный маятник - это колебательная система, представляющая собой тело, закрепленное на пружине.

Рассмотрим колебания тележки массой m, прикрепленного к вертикальной стене пружиной жесткостью k.

Будем считать, что:

1) сила трения, которая действует на тележку, очень мала, поэтому можно не учитывать ее. В этом случае колебания пружинного маятника будут незатухаючими;

2) деформации пружины в процессе колебаний тела незначительны, поэтому их можно считать упругими и применить закон Гука:

Рассмотрим колебания пружинного маятника более детально. Когда тележка удаляется от положения равновесия на расстояние А справа, пружина оказывается растянутой и на тележку действует максимальная сила упругости Fnp = kA.

Затем тележка начинает двигаться влево с ускорением, что меняется: удлинение пружины уменьшается и сила упругости (и ускорение) также уменьшаются. Через четверть периода тележка вернется в положение равновесия. В этот момент сила упругости и ускорение равны нулю, а скорость достигает максимального значения.

По инерции тележка продолжит движение, и возникнет сила упругости, увеличивается. Она начнет тормозить движение бруска и на расстоянии А от положения равновесия тележка на мгновение остановится. От момента начала колебаний прошла половина периода.

Следующую половину периода движение тележки будет точно таким, только в обратном направлении.

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что, согласно закону Гука, сила упругости направлена против удлинения пружины: сила упругости «толкала» тележка к положению равновесия.

Следовательно, свободные колебания пружинного маятника обусловлены следующими причинами:

1) действием на тело силы упругости, всегда направленной в сторону положения равновесия;

2) инертностью колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия, а продолжает двигаться в том же направлении.

2. Период колебаний пружинного маятника

Первую характерную примету колебаний пружинного маятника можно установить, постепенно увеличивая массу подвешенных к пружины грузиков. Подвешивая к пружине грузики разной массы, мы замечаем, что с увеличением массы тяжелый период колебаний груза увеличивается. Например, вследствие увеличения массы тяжелая в 4 раза период колебаний увеличивается вдвое:

Вторую характерную примету можно установить, меняя пружины. Проведя серию измерений, легко обнаружить, что тот же груз быстрее колеблется на жесткой пружине и медленнее - на мягкой, то есть:

Третья особенность пружинного маятника заключается в том, что период его колебаний не зависит от ускорения свободного падения. В этом нетрудно убедиться, используя метод «увеличения земного притяжения» за счет сильного магнита, который подкладывается под груз что колеблется.

Таким образом,

Ø период колебаний пружинного маятника не зависит от ускорения свободного падения и тем меньше, чем меньше масса груза и более жесткая пружина:

Зная период колебаний, легко вычислить частоту и циклическую частоту колебаний:

3. Уравнение гармонических колебаний

Рассмотрим колебания тележки с точки зрения динамики. На коляску во время движения действуют три силы: сила реакции опоры , сила тяжести m и сила упругости пр. Запишем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

Спроецируем это уравнение на горизонтальную и вертикальную оси:

Согласно закону Гука:

Таким образом, имеем:

Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника.

Обозначим: ω2 = k/m. Тогда уравнение движения груза будет иметь вид: ах = -ω2х. Уравнения такого вида называют дифференциальными уравнениями. Решением такого уравнения является функция x = Acosωt.

4. Математический маятник

Чтобы вычислить период колебаний груза, висящего на нитке, необходимо немного «идеализировать» задачу. Во-первых, будем считать, что размеры груза намного меньше длины нити, а нить - нерастяжимая и невесомая. Во-вторых, будем считать угол отклонения маятника достаточно малым (не более 10-15°).

Ø Математическим маятником называется идеализированная колебательная система без трения, состоящую из невесомой и нерастяжимого нити, на которой подвешена материальная точка.

Рассмотрим колебания математического маятника. Для этого возьмем небольшую, но достаточно тяжелую, шарик и подвесим ее на длинную нерозтяжну нить.

Рассматривая колебания математического маятника, мы приходим к выводу, что причины, которые обусловливают свободные колебания, такие же, как и в случае пружинного маятника (см. рис. а-д):

1) действие на шарик сил, равнодействующая которых всегда направлена в сторону положения равновесия;

2) инертность колеблющейся шарики, благодаря которой она не останавливается в положении равновесия.

5. Период колебаний математического маятника

Докажем, что математический маятник совершает гармонические колебания.

Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось ОХ (см. рис.):

Tx + mgx = mах.

Поскольку Тх = 0, то mgx = -mgsin и мы получаем уравнение:

-mgsin = mах, или -gsin = ax.

Значение sin можно рассчитать из треугольника ОАС - он равен отношению катета ОА до гипотенузы ОС. Если углы малые, ОС ≈ l, где l - длина нити, а ОА ≈ х, где х - отклонение шарика от положения равновесия. Поэтому sin = x/l.

Окончательно получаем:

Обозначив ω2 = g/l, имеем уравнения для свободных колебаний математического маятника:

Циклическая частота колебаний математического маятника:

Воспользовавшись соотношением Т = 2/ω, найдем формулу для периода колебаний математического маятника:

Период свободных колебаний математического маятника не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.

Известно, что в разных точках земного шара ускорение свободного падения разное. Оно зависит не только от формы Земли, но и от наличия в ее недрах тяжелых (металлы) или легких (газ, нефть) веществ. А следовательно, и период колебаний маятника в разных точках будет разным. Это свойство используется, в частности, во время поисков залежей полезных ископаемых.

Вопрос к ученикам во время изложения нового материала

1. Как изменится период колебаний пружинного маятника вследствие изменения массы груза? жесткости пружины?

2. Как изменится период колебаний пружинного маятника, если расположить под ним магнит?

3. Как изменится период колебаний пружинного маятника, если увеличить амплитуду колебаний.

4. При каком условии колебания математического маятника можно считать гармоническими?

5. Почему шарик колеблется на длинной нитке, не останавливается в момент прохождения положения равновесия?

6. Как изменится период колебаний математического маятника, если массу груза увеличить? уменьшить?

ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

1). Тренируемся решать задачи

1. Подвешенный на пружине груз, находясь в равновесии, растягивает пружину на 10 см. Достаточно ли этих данных, чтобы вычислить период колебаний груза на пружине?

2. Когда к пружине подвесили груз, она растянулась на 20 см. Груз отвели вниз и отпустили. Чему равен период Т колебаний, что возникли?

3. Стальной шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить медный шарик того же радиуса?

4. Вычислите жесткость пружины, если подвешенный на ней груз массой 700 г совершает 18 колебаний за 21 с.

5. Каково соотношение длин двух математических маятников, если один из них осуществляет 31 колебания, а второй за точно такой промежуток времени - 20 колебаний?

2). Контрольные вопросы

1. Назовите причины колебаний пружинного маятника.

2. Можно использовать пружинный маятник для расчета ускорения свободного падения?

3. Как изменится период колебаний пружинного маятника, если массу груза увеличить в 4 раза и одновременно увеличить в 4 раза жесткость пружины?

4. Назовите основные свойства математического маятника. Где их используют?

5. Что общего у пружинного и математического маятников?

Что мы узнали на уроке

• Пружинный маятник - это колебательная система, представляющая собой тело, закрепленное на пружине.

• Период колебаний пружинного маятника не зависит от ускорения свободного падения и тем меньше, чем меньше масса груза и более жесткая пружина:

• Частота и циклическая частота колебаний пружинного маятника:

• Уравнение свободных колебаний пружинного маятника:

• Математическим маятником называется идеализированная колебательная система без трения, состоящую из невесомой и нерастяжимого нити, на которой подвешена материальная точка.

• Период свободных колебаний математического маятника не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник:

• Уравнение свободных колебаний математического маятника:

Домашнее задание

1. П.: §§ 41, 42.

2. 36.:

г1) - 20.7; 20.8; 20.12; 20.13, 20.14.

р2) - 20.27; 20.28; 20.30; 20.39; 20.41.

г3) - 20.47; 20.48; 20.49; 20.52; 20.57.