УРОК 61

Тема. Решение логарифмических неравенств

Цель урока. Формирование умений учащихся решать логарифмические неравенства

И. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, возникшие у учащихся при выполнении этих заданий.

II. Восприятие и осознание решения логарифмических неравенств (которые решаются введением новой переменной)

Пример 1. Решите неравенство log x - log5 x > 2.

Решение

Пусть log5х = у, тогда получим неравенство у2 - у - 2 > 0.

Решим полученное неравенство методом интервалов (рис. 171): y (-; -1)(2; +).

Учитывая замену получим:

1) log5 x -1; log5 x log5 ; х ;

2) log5 x > 2; log5 x > log525; x (25; +). Следовательно, (25; +) - решение данного неравенства.

Ответ: (25; +).

Пример 2. Решите неравенство .

Решение

Пусть lg x = у, тогда получим неравенство

; в ≠ 1; ; ; .

Решим полученное неравенство методом интервалов (рис. 172): в (-1; 1].

Учитывая замену, получим -1 lg x 1.

Тогда следовательно, х (0,1; 10] (рис. 173).

Ответ: (0,1; 10].

III. Формирование умений решать логарифмические неравенства

Выполнение упражнений№ 59 (10), 60 (15).

IV. Восприятие и осознание решения логарифмических (комбинированных) неравенств методом интервалов

Пример 1. Решите неравенство (3х - 6)log0,5 x > 0.

Решение

Пусть в = (3х - 6) log0,5 x, у > 0.

Область определения функции: х > 0.

Найдем нули функции: (3х - 6) · log0,5 x = 0;

3х - 6 = 0, log0,5 х = 0;

х = 2, х = 1.

Разобьем область определения функции на промежутки точками 2 и 1 и найдем знаки функции на образовавшихся промежутках (рис. 174). Следовательно, х (1; 2).

Ответ: (1; 2).

Пример 2. Решите неравенство log x-3(х - 1) 2.

Решение

Пусть у = log x-3(х - 1) - 2 и в 0. Область определения функции находим из системы: х (3; 4) (4; +).

Найдем нули функции: log x-3(х - 1) = 2; х - 1 = (х - 3)2; х - 1 = х2 - 6х + 9; х2 - 7х + 10 = 0; х = 5, х = 2. х = 2 - не входит в область определения функции. Проверкой убеждаемся, что х = 5 - нуль функции.

Разобьем область определения функции на промежутки точкой 5 и найдем знаки функции на образовавшихся промежутках (рис. 175).

Следовательно, х (3; 4) (5; +).

Ответ: (3; 4) (5; +).

V. Формирование умений решать логарифмические неравенства

Выполнение упражнений№ 59 (8), 60 (12).

VI. Восприятие и осознание графического способа решения логарифмических неравенств

Пример. Решите неравенство log3 x 4 - х графически.

Решение

Построим графики функций у = log3 x и у = 4 - х в одной системе координат. Графики пересекаются в точке А с абсциссой х = 3 (рис. 176).

Из рисунка видно, что множество решений неравенства log3 x 4 - х является промежуток (0; 3].

Ответ: (0; 3].

VII. Подведение итогов урока

VIII. Домашнее задание

Подготовиться к тематической контрольной работы. Упражнения№ 59 (7; 9), 60 (11).