Урок № 60

Тема. Решение прямоугольных треугольников

Цель: работать над усвоением учащимися содержания понятия «решить треугольник» и схем решения четырех основных задач на нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника. Сформировать умение воспроизводить содержание изученных схем, а также применять их для решения прямоугольных треугольников.

Тип урока: применение знаний, умений и навыков.

Наглядность и оборудование: конспект 2.3.

Ход урока

I. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

За готовыми рисунками проводится устное обсуждение плана решения задачи, объявляется правильный ответ.

Усвоение теоретического материала (правил исчисления сторон прямоугольного треугольника) проверяется во время выполнения математического диктанта.

Математический диктант

1. Закончите предложение: Катет, что лежит против острого угла, равен произведению гипотенузы на ...

2. Закончите предложение: Катет, что лежит против острого угла, равен произведению другого катета на ...

3. Закончите предложение: Катет, прилежащий к данному острого угла, равен произведению гипотенузы на ...

4. Закончите предложение: Гипотенуза равна отношению ...

5. В треугольнике ABC C = 90° АС = а см, B = β. Как найти АВ ВС ?

6. В треугольнике MNK N = 90°, MN = а см, M = α. Как найти МК ? NК ?

III. Формулировка цели и задач урока

С целью формирования понимания учащимися логики изучения материала урока, и лучшего его усвоения, а также чтобы иметь возможность провести определенные аналогии, учитель задает учащимся следующие вопросы:

1. Для каких фигур изучались соотношения на уроках геометрии в последнее время?

2. Какие свойства прямоугольного треугольника вы знаете?

3. По каким признакам можно установить, что два прямоугольных треугольника равны?

4. По каким элементам можно построить прямоугольный треугольник? Сколькими способами это можно сделать в определенном положении относительно данной півпрямої ?

5. Сравните ответы на вопрос 3 и 4. За какими элементами, исходя из этого сравнения, определяется некоторый прямоугольный треугольник? Можно ли найти по этим данным все другие неизвестные элементы этого треугольника?

Отвечая на вопрос, учащиеся постепенно осознают, что, исходя из признаков равенства прямоугольных треугольников, определенный прямоугольный треугольник однозначно задается такими парами элементов: гипотенузой и острым углом; катетом и острым углом; гипотенузой и катетом; двумя катетами.

Итак, задание на урок - выяснить способы вычисления неизвестных элементов прямоугольного треугольника по каждому из четырех выделенных пар элементов, а также закрепление умений использовать эти способы для решения практических задач.

IV. Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений

1. Вычислите: a) cos α · tg α; б) sin α · tg α (0° α 90°), если cos α = .

2. Заполните пропуски: a = c · ... B, b = a · ... A, , .

3. АВ = 10 см, cos А = 0,6 (рис. 1) Найдите BC, AC, sin , tg A.

4. AC = 20 см, tg В = 2 (рис. 1). Найдите ВС, sin А.

5. На рисунке 2 ACB = 90°, BDAD.

а) CАВ = α, АC = b, DAB = β. Найдите ВС.

б) BC = c, ABC = α, ABD = β. Найдите PAKD.

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Что означает термин «решить треугольник (прямоугольный)»?

2. Примеры задач на решение прямоугольных треугольников.

@ В отличие от традиционного учебника геометрии, в новом учебнике уже в 8 классе объясняется содержание понятия «решить треугольник (прямоугольный)», а также содержатся примеры решения четырех видов задач на нахождение неизвестных элементов прямоугольного треугольника. Это позволяет сформировать у учащихся алгоритмический подход к решению треугольников и упростить процесс решения многих геометрических задач.

Изучение материала проводится таким образом: сначала разбирается содержание понятия «решить треугольник (прямоугольный)», далее изучаются решение каждой задачи с тем, чтобы далее обобщить виды задач и схемы решения задач отдельного вида. Результаты этой работы фиксируются в тетрадях учеников, от которых требуется не столько бездумное воспроизведение формул, сколько понимание геометрических соотношений, что за этими формулами стоят (записи схем решения задач - см. конспект 23).

IV. Формирование первичных умений

Выполнение устных упражнений

1. Дано: АВ = ВС, BD - медиана (рис. 3). Найдите BD, AC.

2. Дано: AC = ВС, CD - медиана (рис. 4). Найдите АВ.

Выполнение письменных упражнений

1. Решите прямоугольный треугольник (рис. 5) по гипотенузой и острым углом с = 8, α = 30°.

2. Решите прямоугольный треугольник (рис. 5) за катетом и острым углом а = 2, β = 45°.

3. Решите прямоугольный треугольник (рис. 5) по гипотенузой и катетом: с = 9, а = 9.

4. Решите прямоугольный треугольник (рис. 5) за двумя катетами: а = 6, b = 6.

5. Отрезок BD - высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузы. Решите треугольник ABC, если:

a) BD = 4, DBC = 60°; б) AD = 9, C = 10°.

6. В параллельную трапецию вписан круг, радиус которого равен 12 см. Найдите основания трапеции, если длина боковой стороны равна 25 см.

7. В круге с центром О и радиусом 10 см проведено хорду АВ длиной 16 см. Из центра круга к хорде проведен перпендикуляр, который пересекает хорду в точке Е, а круг - в точке F. Найдите длину отрезка EF.

8. Радиусы двух окружностей равны 8 см и 3 см, а расстояние между их центрами - 13 см. Найдите длину их общей внешней касательной.

@ Упражнения на закрепление алгоритмов, изученных на уроке, подобраны таким образом, чтобы вычисления неизвестных элементов треугольников можно было выполнить, используя значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°.

Подготовкой к следующему уроку есть дополнительные упражнения. Развязав их, учащиеся повторяют свойства четырехугольников, которые следующему уроку нужно будет использовать вместе с алгоритмами решения треугольников прямоугольник.

VII. Итоги урока

Какие элементы следует знать дополнительно, чтобы иметь возможность решить треугольники, изображенные на рисунке 6.

VIII. Домашнее задание

Изучить содержание материала «Примеры решения прямоугольных треугольников».

Решить задачи.

1. Решите прямоугольный треугольник (рис. 5), если:

а) с = 12, α = 28°;

б) а = 8, β = 40°.

2. Решите прямоугольный треугольник (рис. 5), если:

а) а = 6, с = 10;

б) а = 5, b = .

3. Отрезок BD - высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузы. Решите треугольник ABC, если BD = 3, DC = 4.

Повторить свойства рівнобічної трапеции, прямоугольной трапеции, метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.