Урок № 59

Тема. Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Цель: добиться усвоения учащимися содержания правил нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника, вытекающие из определений тригонометрических функций острого угла; формировать умение воспроизводить содержание этих правил, а также применять правила для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника. Закреплять знания числовых значений тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°, а также определение и свойства тригонометрических функций, изученных на предыдущих уроках.

Тип урока: усвоение умений и навыков.

Наглядность и оборудование: конспект 23.

Ход урока

I. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Вычислите: .

2. Упростите выражение .

Вариант 2

1. Вычислите: .

2. Упростите выражение cos2 x tg2 x + cos2 х.

Вариант 3

1. Вычислите: 2 · (sin 60° - tg 30°).

2. Упростите выражение .

Вариант 4

1. Вычислите: 2 · (tg 30° - cos 30°).

2. Упростите выражение .

III. Формулировка цели и задач урока

Прежде чем сформулировать цель урока, учитель приводит известные учащимся примеры соотношений между величинами, записанных в виде формул, и напоминает о возможности математического преобразования формул (то есть выражение из формул одних величин через другие). Наиболее тривиальный пример - закон равномерного прямолинейного движения: s = vt, из которого можно выразить каждую из величин, с помощью которых этот закон записан. Проводя аналогию с материалом, который изучается на уроках геометрии, несложно прийти к выводу, что и для геометрических соотношений возможно выразить одну величину через другие.

Итак, цель урока - изучение таких соотношений между элементами прямоугольного треугольника, которые являются следствиями преобразований известных соотношений в прямоугольном треугольнике.

IV. Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений

1. Дайте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

2. Докажите основную тригонометричну тождество.

3. Докажите формулы дополнения.

4. Назовите значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°.

5. Опишите решение прямоугольного треугольника:

а) по гипотенузой и острым углом;

б) катетом и острым углом;

в) по гипотенузой и катетом;

г) за двумя катетами.

6. Из равенства выразите а, b. Прочитайте исходную и полученные равенства, используя понятие «произведение», «отношение».

7. a, b - катеты, с - гипотенуза прямоугольного треугольника. Сравните записи: a = c sin α, b = c cos α. Что в них общего? Что отличного? На какой из этих записей больше похож запись b = c sin α ? Почему?

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Правило нахождения катета, противоположной острому углу прямоугольного треугольника.

2. Правило нахождения катета, прилежащего к острому углу прямоугольного треугольника.

3. Правило нахождения гипотенузы.

4. Примеры применения.

@ Содержание материала п. 21.1 нового учебника существенно отличается от соответствующего материала предыдущего учебника тем, что в нем дается обоснование различных способов нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника, а также описано общую схему действий для нахождения сторон прямоугольного треугольника с использованием обозначения тригонометрических функций.

Работу по изучению нового материала можно провести либо по учебнику, либо предложив учащимся выполнить следующее задание:

1. Для треугольника рис. 1 запишите в виде формул определения всех тригонометрических функций.

2. Из каждого записанного равенства выразите все возможные стороны прямоугольного треугольника.

3. Прочитайте полученные равенства, используя понятие «произведение», «отношение», и названия сторон прямоугольного треугольника.

4. Сравните полученные равенства, разбейте их на группы с похожими элементами.

5. Обобщите результаты (для каждой из образованных групп составить общее правильно).

6. Сравните выведены правила поданным в учебнике. Составьте конспект.

VI. Формирование первичных умений

Выполнение устных упражнений

1. Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известны катет и острый угол?

2. Как найти острый угол прямоугольного треугольника, когда известны противоположный этому углу катет и гипотенуза?

3. Как найти острый угол прямоугольного треугольника, когда известны прилежащий к этому углу катет и гипотенуза?

4. В прямоугольном треугольнике KMN (рис. 2) известны катет MN и угол К. Выразите через них второй катет и гипотенузу треугольника.

Выполнение письменных упражнений

1. В прямоугольном треугольнике катет длиной 7 см является примыкающим к углу 60°. Найдите гипотенузу треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а синус одного из углов - 0,6. Найдите катеты треугольника.

3. Определите неизвестные стороны прямоугольного треугольника ABC (C = 90°), если:

1) АВ = с, A = α; 2) AC = b, B = β; 3) ВС = а, B = β.

4. По рис. 3 определите длины отрезков AD и CD.

5. В прямоугольном треугольнике ABC (рис. 4) АВ = с, BAC = α, KAC = β. Найдите длину отрезка ВК.

6. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно 24 см, а медиана, проведенная к боковой стороне, равна 30 см.

7. В рівнобічній трапеции диагональ равна 17 см, а высота трапеции - 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

8. Основа AD рівнобічної трапеции ABCD делится высотой BE на отрезки длиной 5 см и 16 см, а длина боковой стороны трапеции равна 13 см. Найдите диагонали трапеции.

9. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его средней стороны.

@ В зависимости от уровня интеллектуальной активности учащихся, решения предложенных задач ведется с использованием или правил нахождения неизвестных сторон прямоугольных треугольников (конспект 23), или с использованием схемы действий, описанной в учебнике. Однако за любого способа решения, поиск неизвестной стороны треугольника следует начинать с анализа условия (известное, что - неизвестно) и только после этого воспроизводить соответствующее утверждение, чтобы использовать его для выполнения вычислений.

VII. Итоги урока

Пользуясь рисунком 5, определите, какие из данных утверждений верны:

а) ;

б) MK = KN sin α;

в) KN = MN tg α;

г) .

VIII. Домашнее задание

Изучить содержание соотношений между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Решить задачу.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 8 см, а один из катетов - 4 см. Найдите острые углы треугольника.

Повторить свойства параллелограммов и трапеций.