Урок 60

Тема. Решение задач на применение векторов

Цель урока: формирование умений учащихся применять изученный материал к решению задач.

Оборудование: стенная таблица "Векторы в пространстве».

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Два ученика воспроизводят решения задач № 55 (4), 56.

2. Фронтальное опрашивание.

1) Чему равно скалярное произведение векторов, которые заданы координатами?

2) Как можно вычислить скалярное произведение векторов, если известны их длины и угол между ними?

3) Как можно определить косинус угла между двумя ненулевыми векторами?

4) Сформулируйте признак перпендикулярности двух ненулевых векторов.

5) В пространстве даны векторы (1; 1; 0), (0; 1; 1). Укажите, какие из указанных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) длины векторов и равны;

б) скалярное произведение векторов и равно 2;

в) угол между векторами и равен 120°;

г) ( + )( - ) = 0;

д) векторы + и - перпендикулярны.

3. Проверить правильность выполнения задач № 55 (4), 56 учащимися на доске и ответить на вопросы, которые возникли у учеников класса в ходе выполнения домашних заданий.

II. Закрепление и осмысление знаний учащихся

Решение задач

1. Найдите длину диагонали АС параллелограмма ABCD, если А (2; - 6; 0), В (-4; 8; 2), D (0;-12;0).

Решение

Поскольку (- 6; 14; 2), (-2; -6; 0), то = + , AC (-8; 8; 2)

(рис. 300).

Тогда = = = 2. Ответ. 2.

2. Найдите угол между стороной АС и медиане ВМ треугольника АВС, если А(-3; -5; 1), В(-4; -1; -2) и С(3; 3; 1).

Решение

Угол между стороной АС и медианой ВМ равен углу φ между векторами и (рис. 301), или, если угол между этими векторами тупой,- угла 180° - φ.

Найдем координаты точки М: М = М (0; -1; 1).

Тогда (-4; 0; -3), (-3; -4; 0);

cos φ === . φ = arccos - острый угол. Следовательно, угол между стороной АС и медианой ВМ равен arccos .

Ответ. arccos .

3. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах (3;0;-4) и (0;5;0).

Решение

Пусть параллелограмм ABCD построен на векторах AB и AD (рис. 302). Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними: S = · · sin φ.