Урок 59

Тема. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

Цель урока: формирование понятий угла между векторами, скалярного произведения векторов. Формирование умений учащихся применять изученный материал к решению задач.

Оборудование: схема "Векторы в пространстве»

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Фронтальная беседа с классом с контрольными вопросами № 18 - 20 с использованием схемы «Векторы в пространстве» (см. стр. 233).

2. Ответы на вопросы, которые возникли у учащихся при решении задач № 51-53.

3. Математический диктант.

Даны векторы:

Вариант 1 - (3; 0; 4); (7; 0; 2);

Вариант 2 - (2; -2; 0); (3; 0; -3).

Запишите:

1) координаты вектора , если = + , (2 балла)

2) координаты вектора , если = 2 - ; (2 балла)

3) длину вектора + ; (2 балла)

4) координаты вектора , если известно, что длина вектора втрое больше длины вектора ; (2 балла)

5) при каком значении k вектор (k; 0; 6) колінеарний вектора ; (2 балла)

6) компланарні векторы , и (0; 0; 1)? (2 балла)

Ответ. Вариант 1. 1) (10; 0; 6). 2) (-1; 0; 6). 3) 2. 4) (-9; 0; -12), (9; 0; 12). 5) k = 21. 6) Да.

Вариант 2. 1) (5; -2; -3). 2) (1; -4; 3). 3) . 4) (6; -6; 0), (-6; 6; 0). 5) k = - 6. 6) Hi.

II. Восприятие и осознание нового материала

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов (аx; y; z) ∙ (bx; by; bz) называется число (скаляр) · = аx · bx + аy · by + аz · bz.

Решение задач

1. Найдите · , если (-2; 3; 1), (-4; -5; 2).

2. Даны векторы (2; -1; 4), (5; 3; n). При каком значении п скалярное произведение векторов равна -3?

Из определения скалярного произведения двух векторов и вытекают его свойства.

1) · = · .

2) ( + ) · = · + · .

3) Скалярное произведение векторов и равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними: · = · cos φ (рис. 297).

Доведение

От точки О отложим вектор O = (рис. 298) и ОА = . Выберем декартову систему координат так, чтобы точка О была началом координат, прямая ОА совпала с осью у, ось z была бы перпендикулярна к прямой ОА и находилась в плоскости ОАВ, ось х перпендикулярна к плоскости вz. Определим координаты векторов и :

А(0; || ; 0); B(0; || cos φ; || sin φ); (0; ||; 0); (0; || cos φ; || sin φ).

Найдем скалярное произведение:

· = 0 · 0 + || · || cos φ + 0 · || sin φ = || · || cos φ.

Следствия из свойства 3:

1)

2) Две отличные от нуля векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Действительно, если · = 0, то · · cos φ = 0 , cos φ = 0, φ = , и наоборот, если φ = 0 , то · = · · cos φ = · · 0 = 0.

Решение задач

1. Найдите · , если = 5, = 4, а угол между векторами равен 120°.

2. Ребро куба равно 4 (рис. 299). Найдите · .

Рис. 299

3. Или перпендикулярные векторы (2; 3; 6) и (3; 2; -1)?

4. При каком значении т векторы (6; 0; 12) и (-8; 13; m) перпендикулярны?

5. Есть ли среди векторов (2; 3; 1), (5; 9; 2), (-3, 1; 3) ортогональные векторы?

6. Какой угол образуют векторы (-5; 0; 0) и (0; 3; 0)?

7. Найдите угол между векторами (1; 1; 0) и (1; 0; 1).

8. Найдите cos ABC, если А(1; -3; 4), В(2; -2; 6), С(3; 1; 3).

III. Домашнее задание

§4, п. 35, 36; контрольные вопросы № 18-20; задачи№ 55 (1; 4), 56 (с. 58).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Что называется скалярным произведением векторов (аx; y; z) и (bx; by; bz)?

2) Сформулируйте свойства скалярного произведения векторов.

3) условие ортогональности двух ненулевых векторов?

4) В пространстве даны векторы (1; 1; -1), (0; -1; 1). Укажите, какие из указанных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) = 1;

б) векторы и перпендикулярны;

в) векторы + и не перпендикулярны;

г) ·(+) = 1;

д) векторы и + образуют угол, косинус которого равен .