УРОК № 6

Тема. Решение задач

Цель урока: формирование умений учащихся применять теорему косинусов и следствия из нее к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Соотношение между сторонами и углами треугольника» [13], пособие [14].

Требования к уровню подготовки учащихся: применяют теорему косинусов к решению задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при их решении

Решение задач

1. 1. c2 = a2 + b2 - 2ab cosγ; с2=144 + 64 - 2 ∙ 12 ∙ 8 ∙ = 208 - 96 = 112; с = 10,6.

a2 = b2 + c2 - 2bc cosα; 144 = 64 + 112 - 2 ∙ 8 ∙ 10,6 cosα; 169,6 cosα = 32; cosα 0,19; α 79°.

Тогда β = 180° - α - γ 180° - 60° - 79° = 41°.

Ответ. с = 10,6, α 79°, β 41°.

1. 2. a2 = b2 + c2 - 2bccosα; 16 = 49 + 25 - 70cosα; 70cosα = 58; cosα =0,829; α 34°.

b2 = a2 + c2 - 2accosβ; 25 = 16 + 49 - 56cosβ; 56cosβ = 40; cosβ = 0,714; β 44°.

Тогда γ = 180° - α - β 180° - 34° - 44° = 102°.

Ответ. α 34°, β 44°, γ 102°.

1. 3. Пусть в треугольнике ABC АВ = с, АС = b. BC = a (рис. 15). Проведем высоту CD (два случая).
2. 4.

За следствием из теоремы косинусов имеем:

а2 = b2 + с2 ± 2с npcb = b2 + c2 ± 2c ∙ AD. Отсюда AD = .

Из треугольника ACD по теореме Пифагора имеем:

CD = = = .

Ответ. .

II. Самостоятельная работа

Самостоятельную работу обучающего характера можно провести, воспользовавшись пособием [14], тест 2 «Теорема косинусов и ее последствия».

III. Формирование умений и навыков учащихся

Применение теоремы косинусов

Пользуясь теоремой косинусов, можно доказать несколько важных теорем.

Например: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Докажем эту теорему, используя теорему косинусов.

Пусть ABCD - параллелограмм, AB = CD = a, AD = BC = b, AC = d1, BD = d2 (рис. 16).

По теореме косинусов из треугольника ABD имеем:

BD2 = AB2 + AD2 - 2 ∙ AB ∙ AD ∙ cosA,

= a2 + b2 - 2abcosA. (1)

По теореме косинусов из треугольника ABC имеем:

АС2 = АВ2 + ВС2 - 2 ∙ AB ∙ BC ∙ cosB, или

АС2 = АВ2 + ВС2 - 2 ∙ АВ ∙ ВС ∙ cos(180°- A),

АС2 = АВ2 + ВС2 + 2 ∙ АВ ∙ ВС ∙ cosA, = a2+ b2 + 2abcosA. (2)

Добавив равенства (1) и (2) почленно, получим: + = 2(а2 + b2), что и требовалось доказать.

Решение задач

1. 1. Стороны параллелограмма равны 23 см и 11 см. Найдите диагонали параллелограмма, если они относятся как 2 : 3. (Ответ. 20 см и 30 см.)
2. 2. Диагонали параллелограмма равны 12 см и 14 см, а разность сторон составляет 4 см. Найдите стороны параллелограмма. (Ответ. 7 см и 11 см.)
3. 3. Две стороны треугольника равны 7 см и 11 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 6 см. Найдите третью сторону.

Решение

Пусть в треугольнике ABC (рис. 17) АВ = 7 см, ВС = 11 см, BD - медиана (AD = DC), BD = 6 см.

Продолжим медиану BD и отложим на продолжении отрезок DF так, что DF = BD. Четырехугольник ABCF - это параллелограмм (так как диагонали АС и BF точкой пересечения делятся пополам), тогда AC2 + BF2 = 2 ∙ (AB2 + BC2).

Отсюда AC2 + 122 = 2 ∙ (72 + 112), тогда АС2 + 144 = 340; АС2 =196; АС = = = 14 (см).

Ответ. 14 см.

1. 4. Докажите, что в выпуклом четырехугольнике сумма квадратов диагоналей в 2 раза больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

Доведение

Пусть в четырехугольнике ABCD (рис. 18) AN = NB, BF = FC, CK = KD, DM = AM. Поскольку NF = MK = AC, MN = KF = BD и четырехугольник MNFK - параллелограмм, то, воспользовавшись теоремой о сумме квадратов диагоналей параллелограмма, имеем: NK2 + MF2 = 2(MK2 + MN2) = 2= (AC2 + BD2) или AC2 + BD2 = 2 ∙ (NK2 + MF2), что и требовалось доказать.

1. 5. По трем сторонам а, Ь, с треугольника ABC найдите медианы и, тb, тс (и, тb, тс-медианы, проведенные к сторонам а, b, с соответственно).

Решение

Пусть в треугольнике ABC (рис. 19) ВС = а, АС = b, АВ = с, АК - медиана, АК = и. Продолжим медиану АК так, что AK = KD. Тогда ABDC - параллелограмм, в котором диагональ AD = 2ma. Поскольку сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон, то AD2 + BC2 = 2(AC2 + АВ2). Отсюда (2та)2 + а2 = 2(b2 + с2). Из последнего равенства находим, что и: и = .

Рассуждая аналогично, находим медианы тb и тс:

тb = ; mс = .

Ответ. и = ; тb = ; тс =

1. 6. За тремя медіанами и, тb, вс треугольника ABC найдите его стороны a, b, c (и, тb, тс - медианы, проведенные к сторонам а, b, с соответственно).

Решение

Пусть в треугольнике ABC AN = ma, ВМ = тb, СК = тс (рис. 20). Обозначим длины сторон, которые надо найти, таким образом: ВС = а, АС = b, АВ = с. Продолжим одну из медиан, например AN, так, что ON = DN. Совместим точку D с точками В и С, получим параллелограмм BOCD, у которого сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон, а именно: ВС2 + OD2 = 2(ОВ2 + ОС2) (1). Подставим в формулу (1): ВС = а, OD = и, ОВ = тb, ОС = вс, получим:

.

Отсюда находим а: =.

Рассуждая аналогично, получим формулы для сторон b и с:

b = ; с = .

Ответ. a = ; b = ; с = .

IV. Домашнее задание

Решить задачи.

1. 1. Дан параллелограмм с диагоналями с и d и углом α между ними. Найдите стороны параллелограмма.
2. 2. Найдите медианы треугольника, стороны которого равны 5 м, 6 м и 7 м.

V. Подведение итогов урока

Задача класса

1. 1. Сформулируйте теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.
2. 2. Диагонали параллелограмма равны 2 см и 2 см, а угол между ними равен 30°. Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.

а) Сторона параллелограмма, лежащего против угла в 30°, равен 1 см.

б) Меньшая диагональ образует с меньшей стороной параллелограмма угол в 120°.

в) Сумма квадратов всех сторон параллелограмма составляет 20 см2.

г) Большая сторона параллелограмма равна см.