УРОК № 5

Тема. Последствия теоремы косинусов

Цель урока: выведение следствий из теоремы косинусов. Формирование умений учащихся применять теорему косинусов и следствия из нее к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Соотношение между сторонами и углами треугольника» [13].

Требования к уровню подготовки учащихся: применяют теорему косинусов к решению задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Проверить правильность выполнения домашнего задания можно за записями, сделанными на доске до начала урока.

Решение задачи

Пусть а = 5 м, b = 6 м, с = 1 м. Тогда:

1) a2 = b2 + c2 - 2bc cosα; 25 = 36 + 49 - 2 ∙ 6 ∙ 7 ∙ cosα; 84cosα = 60; cosα = = = .

2) b2 = a2 + c2 - 2accosβ; 36 = 25 + 49 - 2 ∙ 5 ∙ 7 ∙ cosβ; 70cosβ = 38; cosβ = = .

3) c2 = a2 + b2 - 2abcosγ; 49 = 25 + 36 - 2 ∙ 5 ∙ 6 ∙ cosγ; 60cosγ = 12; cosγ = = .

Ответ. ; ; .

Самостоятельное выполнение упражнений

Двое учащихся выполняют задание за откидными досками, остальные - в тетрадях. После окончания работы следует выполнить самопроверку (взаємоперевірку) под руководством учителя по записям, которые сделаны на откидных досках.

Вариант 1

1. 1. Две стороны треугольника равны 3 см и 1 см, а угол между ними составляет 135°. Найдите третью сторону. (Ответ. 5 см)
2. 2. Стороны треугольника равны 4см, 7 см, 5 см. Найдите угол, лежащий против наименьшей стороны. (Ответ. 45°)

Вариант 2

1. 1. Две стороны треугольника равны 3см и 2 см, а угол между ними составляет 60°. Найдите третью сторону. (Ответ. 7 см)
2. 2. Стороны треугольника равны 5см, 13 см и 7 см. Найдите угол, лежащий против наименьшей стороны. (Ответ. 30°)

II. Поэтапное восприятие и осознание учебного материала

Применение теоремы косинусов

Формула a2 = b2 + c2 - 2bc cosα позволяет находить длину одной из сторон по известным длинам двух других сторон и угол между ними.

Теорема косинусов позволяет также по данным сторонами треугольника находить его углы.

Так, из равенства a2 = b2 + c2 - 2bc cosα получаем: 2bc cosα = b2 + с2 - а2, отсюда cosα = .

Если а2 b2 + с2, то b2 + с2 - а2 > 0 и, следовательно, cosα > 0, то есть 0° α 90° , угол А - острый.

Если а2 = b2 + с2, то b2 + с2 - а2 = 0 и, следовательно, cosα = 0, т.е. α = 90°, A - прямой.

Если а2 > b2 + с2, то b2 + с2 - а2 0 и, следовательно, cosα 0, то есть 90° α 180°, A - тупой.

Таким образом, пользуясь теоремой косинусов, можно определять вид углов (острый, прямой, тупой) треугольника, не вычисляя самих углов.

Решение упражнений

Определите вид угла треугольника, лежащий против наибольшей стороны, если стороны треугольника равны:

а) на 7 м, 8 м, 12 м; б) 3 см, 4 см, 5 см; в) 8, 10, 12.

Решение

а) Поскольку(72 + 82) - 122 = 49 + 64 - 144 = - 31 0, то угол, лежащий против наибольшей стороны, является тупым.

б) Поскольку (32 + 42) - 52 = 9 + 16 - 25 = 0, то угол, лежащий против наибольшей стороны, является прямым.

в) Поскольку(82 + 102) - 122 = 64 + 100 - 144 = 20 > 0, то угол, лежащий против наибольшей стороны, является острым.

Следствия из теоремы косинусов

Если рассмотреть формулу a2 = b2 + c2 - 2bc cosα, то выражение bcosα представляет собой проекцию стороны b на сторону с или продолжение стороны с и обозначается прсb.

Если 0° α 90°, то из треугольника ACD (рис. 12, а) имеем

AD = bcosα = npcb, и тогда а2 = b2 + с2 - 2с прсb.

Если 90° α 180°, то из треугольника ACD (рис. 12, б) имеем

AD = b ∙ cos(l80°- α) = -bcosα = npcb, и тогда а2 = b2 + c2 + 2c npcb.

Таким образом, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «±» удвоенное произведение одной из них на проекцию второй на первую. Знак «+» следует брать тогда, когда противоположный угол тупой, а знак «-» - когда острый.

Решение задач

1. 1. Стороны треугольника равны 4 м, 5 м и 6 м. Найдите проекции сторон 4 м и 5 м на прямую, на которой лежит сторона 6 м.

Решение

Пусть АВ = 5 м, ВС = 4 м, АС = 6 м (рис. 13).

Тогда ВС2 = АВ2 + АС2 - 2АСпрАСАВ; 16 = 25 + 36 - 2 ∙ 6 ∙ прАСАВ;

12 ∙ прАСАВ = 45; прАСАВ = = 3 (м).

Аналогично AS2 = ВС2 + AC2 - 2 ∙ AC ∙ npACВС; 25 = 16 + 36 - 2 ∙ 6 ∙ прАСВС; 12 ∙ прАсВС = 27; прАСВС = = 2 = 2 (м).

Ответ. 2 м, 3м.

1. 2. Найдите высоты треугольника, стороны которого равны 5 м, 6 м, 7 м.

Решение

Пусть а = 5 м, b = 7 м, с = 6 м (рис. 14). Поскольку a2 = b2 + c2 - 2b npbc, то 25 = 49 + 36 - 14 ∙ npbc, 14 ∙ прbc = 60, прbc = = = 4 (м), AD = 4 м.

Из треугольника ABD имеем: BD = = = = = = (м).

Поскольку b2 = а2 + с2 - 2с прса, то 49 = 25 + 36 - 12 ∙ прса, 12 ∙ прса = 12, прса = 1, КВ = 1 м.

Из треугольника BCK имеем: СК = = = = 2 (м).

Поскольку c2 = a2 + b2 - 2a npab, то 36 = 25 + 49 - 2 ∙ 5 ∙ npab, 10 npab = 38, npab = = = 3 (м), CF = 3м.

Из треугольника ACF имеем: AF = = == (м).

Ответ. м, 2м, м.

III. Домашнее задание

1. 1. Изучить следствия из теоремы косинусов.
2. 2. Решить задачи.
3. 1) Даны две стороны треугольника а и b, которые равны соответственно 12 и 8 см и образуют угол γ, который составляет 60°. Найдите третью сторону треугольника и два других угла.
4. 2) Даны три стороны треугольника: а = 4, b = 5, с = 1. Найдите углы этого треугольника.
5. 3) Дан треугольник со сторонами а, b, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с. (Эту задачу можно предложить для учащихся, которые интересуются математикой.)

IV. Подведение итогов урока

Задача класса

1. 1. Заполните пропуски:

а) в треугольнике ABC b2 = с2 + ... - ...;

б) в треугольнике ABC cosβ = ;

в) если в треугольнике ABC a2 = b2 + c2, то треугольник ...;

г) если в треугольнике ABC b2 > a2 + c2, то B - ...;

д) если в треугольнике ABC b2 a2 + с2, то B - ....

1. 2. Определите вид угла треугольника, лежащий против наибольшей стороны треугольника, стороны которого равны:

а) 2 см, 3 см, 4 см;

б) 3 см, 4 см, 5 см;

в) 4 см, 5 см, 6 см.