Урок № 58

Тема. Формулы дополнения. Значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°. Решение задач

Цель: закрепить знания учащимися содержания формул дополнения и числовых значений тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°. Сформировать умения применять формулы к решению задач.

Тип урока: применение знаний, умений и навыков.

Наглядность и оборудование: конспект 22.

Ход урока

I. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Учащиеся выполняют работу с проверки домашнего задания в форме «Найди ошибку» (запись готового решения домашних задач с «ошибками» выполнено на доске заранее).

Усвоение содержания теоретического материала урока проверяется во время самостоятельного выполнения учащимися упражнений на вписывание.

Заполните пропуски записями так, чтобы равенства стали верными (α, β, χ - острые углы).

а) sin (90° - α) = ...;

б) cos ( ... - β) = sin β;

в) tg (90° - ...) = ctg χ;

г) ... (90° - ...) = tg β;

д) sin ... + cos 45° = + ... = ...;

есть) 3 tg ... + 5 ctg ... = 3 + 5;

ж) 2 ... 60° + 3 tg ... = 1 - 3 = ...;

с) sin ... - tg... = - = ...

III. Формулировка цели и задач урока

Общая цель урока - закрепление знаний учащихся по теме и освоения способов применения этих знаний, формирование умений оперировать приобретенными знаниями в стандартных и нестандартных ситуациях.

IV. Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений

1. Найдите: cos , tg A (рис. 1).

2. Найдите: sin Г, cos M (рис. 2).

3. Упростите выражение:

а) ;

б) sin2 α + sin2 (90° - α);

в) 1 - cos2 (90° - α).

4. Вычислите:

a) 2 sin 30° + 3 cos 60°;

б) 6 sin 30° - tg 45°;

в) cos 60° · sin 30°;

г) 4 cos 30° - tg 60°;

д) 2 cos 60° - 3 tg 45°;

есть) 1 - 2 cos2 45°;

ж) cos2 30° - 2 sin2 30°;

с) sin2 45° + sin 30°;

ы) .

5. Чему равен тангенс острого угла, если синус и косинус этого угла равны между собой?

6. В прямоугольном треугольнике ABC катет а больше катета b. Что больше: cos А cos В?

V. Применение знаний и умений

Применение знаний в стандартных ситуациях

1. Углы А и В - острые углы прямоугольного треугольника. Найдите:

a) tg А, если sin В = ;

б) sin В , если ctg A = ;

в) sin2 + sin2 В .

2. Вычислите без помощи таблиц:

a) cos2 30° - 2 sin2 30°;

б) 3 cos2 45° - 2 cos260°;

в) 4 sin 30° - cos 30°.

3. Вычислите без помощи таблиц:

а) (cos 30° + cos 45°)(cos 45° - sin 60°);

б) (sin 60° - sin 30°)(cos 60o + cos 30°);

в) (1 + sin 30° + sin 60°)(3 cos 60° - sin 60°).

4. Упростите выражение:

а) (1 + ctg(90° - α))2 + (1 - ctg(90° - α))2;

б) ;

в) (sin(90° - α) tg α) + .

Применение знаний в нестандартных ситуациях

1 (опорная). За рост острого угла синус и тангенс растут, а косинус и котангенс спадают. Докажите.

2. Вычислите значение выражения tg 15° tg 30° tg 45° tg 60° tg 75°.

3. Представьте выражение в виде суммы произведений синусов некоторых углов на числа:

а) + - ; б) - 0,25 + 2 - 3.

4. Запишите выражение в виде суммы произведений косинусов некоторых углов на числа:

а) - + 4; б) 1 - + 2 - .

5. Запишите выражение в виде суммы произведений тригонометрических функций угла 30° на некоторые числа:

а) 5 - 4+; б) + 4 - 2.

6. Расположите в порядке возрастания:

а) sin 12°, sin 65°, sin 38°, sin 25°;

б) cos 52°, cos 10°, cos 80°, cos 20°;

в) tg 37°, tg 87°, tg 77°, tg 27°, tg 57° .

7. Правильно ли, что:

a) sin2 28° + sin2 62° = 1;

б) tg 20° - tg 70° = 1 ;

в) sin3 α + cos3 α 1?

8. Что можно сказать об острый угол A (A = α), если известно, что:
а) sin α > sin 47°;

б) cos α > cos 31°;

в) tg α > tg 20°;

г) sin α 0,5;

д) tg α > 1 ;

e) cos α > ;

ж) sin α > cos α.

@ Под стандартными в этом случае понимают задачи, в условии которых есть указания на те утверждения, которые следует применять при решении.

Нестандартные ситуации как всегда представлены задачами, в которых следует применять дополнительный материал или вообще доказывать новые опорные факты, а также выявлять элементы творческого мышления.

VI. Итоги урока

Подводя итоги урока, необходимо описать виды задач на применение материала §20 и дать словесное описание схемы их решения.

VIII. Домашнее задание

Повторить содержание и доказательство теоремы о формулы дополнения и значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°; определение и свойства тригонометрических функций острого угла и тригонометрические, тождества.

Решить задачи.

1. Найдите острый угол х, если: a) ctg x = tg 14°; б) tg x = ctg x.

2. Найдите:

а) sin α, cos α и tgα, если tg(90° - α) = ;

б) cos2 α + cos2 (90° - α).

3. Сравните:

a) sin 23° и cos 65°;

б) tg 36° и ctg 64°.

4. Докажите, что tg 1° · tg 2° ·... · tg 88° · tg 89° = 1.