Вариант 1

Вариант 2

№ 1. Разложите на множители:

1) х3 - 9х;

2) 12 - 75с2;

3) -n2 - 8n - 16;

4) 4m3 - 32с3;

5) 3тп + 24n - 9m - 72.

№ 1. Разложите на множители:

1) а3 - 16а;

2) 10х2 - 50;

3) -m2 + 6m - 9;

4) 2n3 + 54k3;

5) ас4 - с4 + ас3 - с2.

№ 2. Решите уравнение:

1) 2х3 - 50х = 0;

2) 9х3 + 6х2 + х = 0.

№ 2. Решите уравнение:

1) 6х3 - 24х = 0;

2) 25х3 - 10х2 + х = 0.

№ 3. Разложите на множители:

1) а + b + а2 - b2;

2) х2 - 2ху + у2 - m2;

3) (2m - 3)2 - (m + 2)2.

№ 3. Разложите на множители:

1) х2 - у2 + х - у;

2) х2 - 4ху + 4у2 - 1;

3) (4m - 3)2 - (m + 2)2.

№ 4. Докажите, что:

1) при любом целом k значение выражения (k + 5)( k 2 - k + 1) - k(k + 2)2 + 3
делится на 8;

2) значение выражения 825 - 6412 делится на 7.

№ 4. Докажите, что:

1) при любом целом л значение выражения (2n + 3)2 - (2n - 3)(2n + 5)
делится на 8;

2) 220 + 225 - 411 делится на 29.

№ 5. Найдите наименьшее значение выражения:

1) х2 + 8х + 16; 2) х2 + 8х + 17.

При каких значениях х выражение приобретает малейшего значения?

№ 5. Найдите наименьшее значение выражения:

1) x2 - 6x + 9; 2) x2 - 6x + 12.

При каких значениях х выражение приобретает малейшего значения?

№ 6. Докажите, что разность квадратов двух последовательных целых чисел является нечетным числом

№ 6. Докажите, что разность квадратов двух целых чисел, взятых через 1, делится на 4

Вариант 1

Вариант 2

№ 1. 1) х(х - 3)(х + 3);

2) 3(4 - 25с2) = 3(2 - 5с)(2 + 5с);

3) -(n2 + 8n + 16) = -(n + 4)2;

4) 4(m3 - 8с3) = 4(m - 2с)(m2 + 2m + 4с2);

5) 3(mn + 8n - 3m - 24) = 3(m(n - 3) + 8(n - 3)) = 3(n - 3)(m + 8).

№ 1. 1) а(а2 - 16) = а(а - 4)(а + 4);

2) 2(9х2 - 25) = 2(3х - 5)(3х + 5);

3) -(m2 - 6m + 9) = -(m - 3)2;

4) 2(n3 + 27k3) = 2(n + 3k)(n2 - 2kn + 9k2);

    5) с2(ас2 - с2 + а - 1) = с2(с2(а - 1) + (а -1)) = с2(а - 1)(с2 + 1).

№ 2. 1) 2х(х - 5)(х + 5) = 0;

х = 0 или х = 5 или х = -5;

2) х(3х + 1)2 = 0; х = 0 или х = -.

№ 2. 1) 6х(х2 - 4) = 0;

6х(х - 2)(х + 2) = 0;

х = 0 или х = 2 или х = -2;

2) х(25х2 - 10х + 1) = 0;

х(5х - 1) = 0; х = 0 или х = .

№ 3. 1) (а + b) + (а + b)(а - b) = (а + b)(1 + а - b);

2) (x - у)2 - m2 = (х - m)(х - у + m);

3) ((2m - 3) - 2(m + 2))(2m - 3 + m + 2) = (m - 5)(3m - 1).

№ 3. 1)(х - у)(х + у) + (х - у) = (х - у)(х + у + 1);

2) (х - 2у)2 - 1 = (х - 2у - 1)(х - 2у + 1);

 3) (4m - 3 - (m + 2))(4m - 3 + m + 2) = (3m - 5)(5m - 1).

№ 4. 1) k 3 + 5k2 - k2 - 5k + k + 5 - k3 - 4k2 - 4k + 3 = -8k + 8 = 8(-k + 1) делится на 8;

2) 825 - 6412 = 825 - 824 = 824(8-1) = 824 ∙7 делится на 7

№ 4. 1) (2n + 3)2 - (2n - 3)(2n + 5) = 4n2 + 12n + 9 - (4n2 - 6n + 10n - 15) =

= 4n2 + 12n + 9 - 4n2 - 4n +15 = 8n + 24 = 8(n + 3) делится на 8;

2) 220 + 225 - 411 = 220 + 225 - 222 = 220(1 + 25 - 22) = 220(1 + 32 - 4) =

= 220 ∙ 29 делится на 29

№ 5. 1) х2 + 8х + 16 = (х + 4)2 ≥ 0, наименьшее значение равно 0, при

х + 4 = 0, то есть х = -4;

2) х2 + 8х + 17 = (х2 + 8х + 16) + 1 = (х + 4) +1 ≥ 1, наименьшее значение

равен 1 при (х + 4) = 0, то есть х + 4 = 0, х = -4.

№ 5. 1) х2 - 6х + 9 = (х - 3)2 ≥ 0, наименьшее значение равно 0 при х = 3;

2) х2 - 6х + 12 = (х2 - 6х + 9) + 3 = (х - 3) + 3 ≥ 3, наименьшее значение равно 3 при х = 3.

№ 6. Пусть меньшее число х, тогда следующее - (х +1), а разность квадратов

(х + 1)2 - х2 = х2 + 2х + 1 - х2 = 2х + 1 - нечетное число (от деления на 2 дает остаток 1)

№ 6. Пусть меньшее число х, тогда число через 1 равна (х + 2), а разность квадратов

(х + 2)2 - х2 = (х + 2 - х)(х + 2 + х) = 2 ∙ (2х + 2) = 2 ∙ 2 ∙ (х + 1) = 4(х +1) делится на 4