Урок № 57

Тема. Формулы дополнения. Значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°

Цель: сформировать у учащихся сознательное понимание содержания и доказательства теоремы, содержащий формулы дополнения, а также следствия из нее; добиться усвоения учащимися способа исчисления и значений тригонометрических функций углов 30°, 45° и 60°. Закрепить знания изученных формул и сформировать умение их применять при решении задач.

Тип урока: усвоение умений и навыков.

Наглядность и оборудование: конспект «Формулы дополнения. Значения тригонометрических функций углов 30°, 45° и 60°».

Ход урока

I. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Учитывая достаточно большой объем материала, который необходимо изучить на уроке, проверку осуществляем устно, за записями, выполненными на доске заранее.

III. Формулировка цели и задач урока

Толчком к интеллектуальной деятельности учащихся может быть задача, однажды уже предложенное и усовершенствованное учителем.

Задачи. Выполните изображение прямоугольного треугольника с катетами а, b и гипотенузой с. Углы, противоположные катетам а, b, обозначьте соответственно α, β. Запишите, чему равны sinα и cosβ. Сравните записанные отношение. Что вы заметили? Изменится ли результат, если взять другой прямоугольный треугольник? Сформулируйте полученный результат в виде утверждения.

Цель предлагаемого задания - наглядно продемонстрировать учащимся существование определенных зависимостей между тригонометрическими функциями острых углов прямоугольного треугольника. Далее следует подчеркнуть, что для острых углов любого прямоугольного, треугольника существует общее свойство. Поэтому, обобщив проведенные Наблюдения для углов, имеющих с острыми углами прямоугольного Треугольника общее свойство, мы получим новые утверждения. Изучение этих утверждений и способа их применения - основная цель урока.

IV. Актуализация опорных знаний и умений

Ученикам следует воспроизвести приобретенные ими ранее знания о свойстве острого угла прямоугольного треугольника, медианы равностороннего треугольника, а также теоремы Пифагора, и восстановить умение использовать эти знания при решении задач. Для этого учащимися предлагается выполнить устные упражнения.

Выполнение устных упражнений

1. Найдите угол х на рис. 1.

2. По данным рисунка 2 найдите DAC, AD, если АВ = ВС, B = 60°.

3. Найдите х на рис. 3.

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Теорема (формулы дополнения).

2. Следствие из теоремы.

3. Значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°.

@ Содержание материала, представленного в п. 20.1 и 20.2 нового учебника, отличается от содержания соответствующего пункта традиционного учебника лишь тем, что из теоремы (формулы дополнения) выведено следствие для тангенсу и котангенсу острого угла. Доказательство теоремы и нахождение значений тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60° осуществляется традиционным способом (через применение теоремы Пифагора, определение тригонометрических функций и формул дополнения в прямоугольных треугольников с острыми углами 30° и 45°). Поскольку содержание материала урока основывается на хорошо усвоенных знаниях учащихся и требует наблюдательности и умений выполнять вычисления в соответствии с содержанием теоремы Пифагора, то изучение материала урока проводится в форме практической работы (можно в малых группах), результаты которого объявляются после окончания, корректируются и обобщаются, а также фиксируются в тетрадях учеников в виде записей, аналогичных записей конспекта 22.

После выполнения этой части работы учитель должен сделать акцент на том, что, учитывая широкую применяемость записанных в таблице чисел, их надо выучить наизусть. Лучшему запоминанию будет способствовать применение формул дополнения и существования определенного закона в последовательности записи чисел (значения синусов углов 30°, 45°, 60° является вычисление дробей, в знаменателе которых стоит число 2, а в числителе - значение квадратного корня из первых трех натуральных чисел: = 1, , ), а также использования других мнемонических приемов (например, выделение одинаковых чисел в таблице одинаковым цветом).

VI. Формирование первичных умений

Выполнение устных упражнений

1. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой АВ sin В = а. Чему равен косинус угла А?

2. Могут ли синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника равны друг другу? В каком случае?

3. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой АВ tg > tg B. Может ли один из этих тангенсов равняться единице?

4. Углы α и β - острые углы прямоугольного треугольника. Найдите произведение tgα · tgβ.

Выполнение письменных упражнений

1. Найдите острый угол х, если:

а) sin x = cos 36°;

б) cos x = sin 82°;

в) tg x = ;

г) cos x = sin x.

2. Вычислите:
а) sin 30° + tg 45°;

б) cos 30° · tg 60°;

в) sin 45° - cos 60°.

3. Углы А и В - острые углы прямоугольного треугольника. Найдите:

а) sin и cos В, если cos A = 0,6;

б) cos А и tg А, если sin В = 0,5.

4. Найдите острый угол х, если:

a) tg x = ctg 22°;

б) cos (90° - x) = 0,5.

@ Решения предложенных упражнений способствует закреплению знаний формул дополнения и значений тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°, а также формированию умений использовать эти знания при решении стандартных задач на понимание.

VII. Итоги урока

Найдите ошибки в следующих равенствах:

1) sin 12° = cos 78°;

2) sin 70° = sin 10°;

3) cos 53° = sin 47°;

4) cos 25° = sin 65°;

5) cos 21° = sin 69°;

6) sin 34° = cos 56°.

VIII. Домашнее задание

Изучить содержание и доказательство теоремы и следствия из нее, значения тригонометрических функций углов 30°, 45°, 60°.

Решить задачи.

1. Начертите прямоугольный треугольник.

а) Измерьте катет и гипотенузу треугольника и вычислите их отношения.

б) Выделите красным цветом угол, синус которого найдено, и синим цветом - косинус которого найдено.

2. Найдите острый угол х, если:

a) cos x = sin 50°;

б) sin x = 0,5;

в) tg х = 1.

3. Вычислите:

а) cos 30° - cos 60°;

б) cos 45° · sin45°;

в) sin 60° · tg 30°.

4. Найдите:
a) cos α и sin α, если sin (90° - α) = 0,8;

б) tg(90° - α), если sina = .

Повторить теорему Пифагора; тригонометрические тождества; неравенство треугольника.