УРОК № 58

Тема. Бесконечная геометрическая прогрессия (| q | 1) и ее сумма

Цель урока: добиться усвоения учащимися: определение бесконечной убывающей геометрической прогрессии и формулу суммы этой прогрессии. Закрепить знания учащихся о содержании основных понятий, связанных с понятием геометрической и арифметической прогрессий.

Выработать умения: приводить примеры бесконечных геометрических прогрессий с | q | 1; записывать формулу для нахождения суммы таких геометрических прогрессий; по формуле суммы находить сумму соответствующей геометрической прогрессии, а также решать задачи, предусматривающие вычисления таких сумм (в частности, запись периодической десятичной дроби в виде обыкновенной дроби). Усовершенствовать умение решать задачи на применение изученных свойств арифметической и геометрической прогрессий.

Тип урока: усвоение знаний, выработка умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект № 36, раздаточный материал (карточки с решениями домашней самостоятельной работы).

Ход урока

И. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

II. Проверка домашнего задания

Проверка выполнения заданий домашней самостоятельной работы происходит по традиционной схеме: учитель собирает тетради учеников на проверку, а ученикам раздаются правильные решения всех заданий для работы дома (если в этом есть необходимость).

III. Формулировка цели и задач урока.

Мотивация учебной деятельности учащихся

Для осознания учениками существование проблемы, которая решается с помощью формулы, которая должна быть изучена на данном уроке, можно предложить им выполнить несколько заданий на сравнение (среди нескольких примеров геометрических прогрессий выделяются такие, которые будут предметом дальнейшего разговора на уроке), а также задачи, которые могут привести учеников к пониманию «особенностей» геометрических прогрессий со знаменателем | q | 1. После такой умственной работы учащихся учитель лишь обобщает высказанные мнения и формулирует основную дидактическую цель урока: добиться усвоения учащимися определение бесконечной убывающей геометрической прогрессии, формулы суммы этой прогрессии, а также выработать умение приводить примеры бесконечных геометрических прогрессий с | q | 1; записывать формулу для нахождения суммы таких геометрических прогрессий; по формуле суммы находить сумму соответствующей геометрической прогрессии, а также решать задачи, предусматривающие вычисления таких сумм.

IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Устные упражнения

1. Является ли геометрической прогрессией последовательность чисел:

1) 3; 1; ; ; ;

2) -3; 1; ; ; ;

3) 1; ; ; ; ; ?

Для геометрических прогрессий найдите знаменатель.

2. Как найти сумму первых десяти членов последовательности:
1) (аn): 1; 2; 3; ...;

2) (bn): 1; 2; 4; 8; ...;

3) (cn): 3; 3; 3; ... ?

3. В геометрической прогрессии (dn) d1 = ; q = .Знайдіть:

1) d2; 2) d4; 3) d10.

Что можно сказать о ее 100-й член?

4. Запишите в виде суммы разрядных единиц числа:

1) 324; 2) 32,4; 3) 0,172; 4) 0,(2); 5) 1,5(3).

V. Формирование знаний

План изучения нового материала

1. Представление о геометрическую прогрессию со знаменателем | q | 1.

2. Формула суммы геометрической прогрессии со знаменателем | q | 1.

3. Примеры решения задач на применение формулы суммы геометрической прогрессии со знаменателем | q | 1.

Опорный конспект № 36

Методический комментарий

Изучение материала урока строится на наглядно-интуитивных представлениях учащихся о предел последовательности, подобно тому, как это было сделано в курсе геометрии при выводе формул длины окружности, площадей прямоугольника и круга. Важно подчеркнуть, что формула выведена для суммы всех членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем | q | 1, а поэтому отличается от формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии.

Также следует отметить, что выведенная формула позволяет решить ряд практических задач, в частности записывать бесконечные десятичные периодические дроби как обычные (см. примеры решения задач в опорном конспекте № 36).

VI. Формирование умений

Письменные упражнения

Для реализации дидактической цели урока следует решить упражнения такого содержания:

1) среди предложенных последовательностей выберите бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем | q | 1;

2) по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем | q | 1 и данным первым членом и знаменателем бесконечной геометрической прогрессии найти ее сумму;

3) по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем | q | 1 найти неизвестный первый член, если известны ее сумма и знаменатель;

4) упражнения на преобразование бесконечной десятичной периодической дроби на обыкновенную дробь;

5) комбинированные упражнения на вычисление бесконечных сумм (на применение формул суммы первых п членов геометрической и арифметической прогрессий);

6) на повторение: упражнения на применение свойств арифметической и геометрической прогрессий.

Методический комментарий

При решении упражнений, кроме закрепления терминологии и формулы, выведенной на предыдущем этапе урока, проводится отработка следующих ключевых моментов:

• изучена формула применяется только для бесконечных геометрических прогрессий и для вычисления только суммы всех членов бесконечной геометрической прогрессии;

• изучена формула является соотношением, что связывает три величины: первый член, знаменатель и сумму всех членов бесконечной геометрической прогрессии, а потому может быть применена как для расчета суммы, так и для отыскания двух других названных выше величин.

VII. Итоги урока
Контрольные вопросы

1. Дано геометрическую прогрессию (bn): 1; ; ; ; ; ... .

1) можно Ли сумму данной последовательности вычислить по формуле ? Почему?

2) По какой формуле следует вычислить сумму всех членов данной последовательности?

2. Дано геометрическую прогрессию (cn): 1; ; ; ; ; ... .

1) можно Ли сумму всех членов данной прогрессии как найти значение выражения ? Почему? Найдите эту сумму.

2) Найдите сумму первых четырех членов данной прогрессии. Сравните ее с числом, полученным в предварительном расчете. Как можно объяснить результаты сравнения?

VIII. Домашнее задание

1. Изучить содержание материала урока (см. опорный конспект № 36).

2. Решить упражнения, аналогичные по содержанию решенным на уроке, или выполнить тестовые задания [9, тест 22].