УРОК 58

Тема. Решение логарифмических уравнений

Цель уроку. формирование умений учащихся решать логарифмические уравнения различными методами: сведения логарифмического уравнения к алгебраического; метод потенцирования; возведение логарифмов к одной и той же основы; метод логарифмирования и графический метод.

И. Проверка домашнего задания

1. Устное решение логарифмических уравнений с использованием таблицы 24 для устных вычислений «Логарифмические уравнения».

Логарифмические уравнения

2. Обсуждение вопросов, возникших во время выполнения домашних заданий.

II. Восприятие и осознание различных методов решения логарифмических уравнений

1. Метод сведения логарифмического уравнения к алгебраического.

Пример. Решите уравнение log х - 3log2 x = 4.

Решение

Обозначим log2 x через у. Данное уравнение примет вид:

у2 - 3y = 4; у2 - 3у - 4 = 0; у1 = 4; у2 = -1.

Отсюда log2 x = 4, log2 x =-1;

x = 24; x = 2-1; x = 16, x = .

Проверка: 1) log 16 - 3 log2 16 = 16 - 12 = 4;

2) log - 3 log2 = -1 + 3 = 4.

Ответ: 16; .

2. Метод потенцирования.

Пример. Решите уравнение log5(x - 1) + log5(x - 2) = log5(x + 2).

Решение

Пропотенціюємо данную равенство и получим:

log5((x - 1)(х - 2)) = log5(x + 2); (х - 1)(х - 2) = х + 2; x2 - 2х - х + 2 = х + 2;

x2 - 4х = 0; х(х - 4) = 0; х = 0 или х = 4.

Проверка:

1) Значение х = 0 не является корнем уравнения, потому что выражения log5(x - 1) log5(x - 2) не имеют смысла при х = 0.

2) log5(x-1) + log5(x-2) = log5(4-1) + log5(4-2) = log53 + log52 = log5(2·3) = log56.

log5(x + 2) = log5(4 + 2) = log56.

Следовательно, х = 4 - корень.

Ответ: 4.

3. Метод возведения логарифмов к одной и той же основы.

Пример. Решите уравнение log3 х - 2х = 3.

Решение

log3 x - 2x = 3; log3 х - 2 · = 3; log3 x - 2· = 3; log3 x + 2log3 x = 3;

3log3 x = 3; log3 x = 1; x = 3.

Проверка: log3 3 - 23 = 1 + 2 = 3. Следовательно, х = 3 - корень.

Ответ: 3.

4. Метод логарифмирования.

Пример. Решите уравнение х lgx = 100х.

Решение

Прологарифмуємо обе части равенства (х > 0), получим:

lgx lgx = lg(100x); lgx lgx = lg 100 + lgx; lg2x - lg x - 2 = 0.

Заменим lg х = у. Уравнение примет вид: у2 - у - 2 = 0; y1 = 2, y2 = -1.

Тогда: 1) lg х = 2; х = 102; х = 100.

2) lg x = -1; x = 10-1; x = 0,1.

Проверка: 1) xlgx = 100 lg100 = 1002 ; 100х = 100 · 100 = 1002.

Следовательно, x = 100 - корень.

2) xlgx = 0,1lg0,1 = 0,1-1 = = 10; 100х = 100 · 0,1 = 10.

Следовательно, x = 0,1 - корень.

Ответ: 100; 0,1.

5. Графический метод решения логарифмических уравнений.

Пример. Решите уравнение lg x = 1 - х графически.

Решение

В одной и той же системе координат строим графики функции у = lg x и у = 1 - х (рис. 165). Абсцисса точки пересечения построенных графиков равна 1. Следовательно, х = 1 - корень данного уравнения.

Ответ: 1.

III. Приобретение умений решать логарифмические уравнения

Решение упражнений 52 (10; 14), 53 (4; 10), 54 (3; 9).

IV. Подведение итогов урока

V. Домашнее задание

Раздел V § 3. Вопросы и задания для повторения раздела V № 26-31. Упражнения№№ 52 (9; 11), 53 (12), 54 (2; 7).