Часть 2 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

Раздел 5 ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА

5.10. Стационарная теплопроводность. Коэффициент теплопроводности

Вследствие теплового движения молекул любое сечение в объеме, который занимает газ, пересекается молекулами. Рассмотрим некоторую площадку s (рис. 5.9), перпендикулярную к оси х, вдоль которой поддерживается стала разница температур (процесс стационарный). Предположим, что температура Т₁ больше, чем Т₂ (Т₁ >Т₂).

Рис. 5.9

Через площадку s проходят молекулы как слева направо, так и справа налево. Если при этом давление газа во всех точках один и тот самый, то число молекул, пересекающих за 1 с на единицу площади s, слева и справа должно быть одинаковым. Однако молекулы, движущиеся слева, несут с собой большую энергию, чем молекулы, которые поступают до площадки дело, поскольку они движутся из зоны более высокой температуры. Вследствие этого возникает поток теплоты (слева направо), который равен разности энергий, которые переносят молекулы слева и справа.

Как известно, число молекул N₁, которые пересекают 1 см² площадки s слева направо, равна . Справа налево проходит N₂ молекул, где это число также составляет. Напомним, что средняя скорость теплового движения молекул и n - число молекул в единице объема. Хотя N₁ = N₂, однако энергии они несут разные. Найдем сначала эти энергии.

Молекулы, которые поступают к площадке s слева, движутся к ней с той самой энергией, которую они имели после последнего перед площадкой столкновения. Длина свободного пробега в различных молекул разная, но грубо можно принять, что молекулы, которые поступают к площадке s, имели последнее столкновение на расстоянии от нее, равном средней длине свободного пробега . Согласно этих соображений можно считать, что молекулы, которые поступили в площадки слева, имеют среднюю энергию ₁, которая соответствует температуре Т' в точке на расстоянии от площадки s. Количество энергии, которую приносят молекулы за 1 с в 1 см² площадки, составляет

Аналогично количество энергии, которую приносят молекулы дело до площадки, равна

где ₂ - средняя энергия молекул, которая соответствует температуре Т' в точке, лежащей от площадки на расстоянии дело. Следовательно, результирующее значение количества энергии, которая протекает через 1 см² площадки s за 1 с, составляет

где ₁ и ₂ - средние значения энергии молекул, которые соответствуют температурам Т' и Т’ в точках, расположенных друг от друга на расстоянии 2.

Средняя энергия одной молекулы пропорциональна температуре, ее можно выразить через теплоемкость газа С_V. Средняя энергия молекулы равна , где и - число степеней свободы. Молярная теплоемкость газа где N₀ - число Авогадро; k - постоянная Больцмана. Поэтому

Следовательно, выражение для теплоты ф можно записать в таком виде:

Разницу температур Т'-Т’ между точками, которые лежат по обе стороны площадки на расстоянии от нее, можно определить из значения градиента температуры:

поскольку градиент температуры является изменением температуры на единицу длины. Знак минус указывает на то, что росту х соответствует уменьшение Т. Отсюда

Сопоставляя соотношения (5.29) и (5.24), получим выражение для коэффициента теплопроводности:

Если учесть, что где c_V - удельная теплоемкость, а μ - молярная масса и μ/N₀ = m - масса одной молекулы, то формулу (5.30) можно записать в виде

где, как уже известно, ρ = mn (произведение массы молекулы на число молекул в единице объема).

Выражения (5.30) и (5.31) дают лишь приближенное значение коэффициента теплопроводности газа, поскольку численный множитель в этих формулах зависит от предположений, сделанных во время расчетов, и только примерно равна 1/3. Точно рассчитать этот множитель достаточно трудно.