УРОК № 57

Тема. Конус. Площадь поверхности и объем конуса

Цель урока: повторение, приведение в систему и расширение сведений о конус, площадь поверхности и объем конуса; формирование умений учащихся находить площади поверхностей и объемы конусов.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Начальные сведения стереометрии» [13]; модели конусов.

Требования к уровню подготовки учащихся: объясняют, что такое конус и его элементы; изображают и находят на рисунке конус; записывают и объясняют формулы площади поверхности и объема конуса; применяют изученный материал к решению задач, в том числе и прикладного содержания.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненного домашнего задания и ответить на вопросы, которые возникли у учащихся при решении задачи.

Решение

V = πR2H, R = = = = 2 (см).

Следовательно, AD = 2R = 2 ∙ 2 = 4 (см). CD = 2 cм (рис. 269).

Из треугольника ACD имеем:

АС = = = = 6 (см).

Sбоков = 2nRH = 2n ∙ 2 ∙ 2 = 8n (см2).

Ответ. 6 см и 8 n см2.

Фронтальная беседа

Цилиндр образован в результате вращения прямоугольника вокруг стороны, которая образует с диагональю прямоугольника угол α, длина диагоналей равна d (рис. 270). Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.

а) Высота цилиндра равна dcosα.

б) Радиус цилиндра равен dsinα.

в) Площадь полной поверхности цилиндра равна 2nd2 cosα(cosα + sinα).

г) Объем цилиндра равен nd3 sin2α cosα.

II. Поэтапное восприятие и осознание нового материала

Конус и его элементы

Прямым круговым конусом называется тело, образованное вращением плоского прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (рис. 271).

Если прямоугольный треугольник SAO вращается вокруг катета SO, то его гипотенуза описывает боковую поверхность, а катет В А - круг - основание конуса. Радиус этого круга называется радиусом конуса; точка S, отрезок SA, отрезок SO, прямая SO называются соответственно вершиной, образующей, высотой и осью конуса.

Осевое сечение конуса - сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось. Все осевые сечения конуса - равные между собой равнобедренные треугольники. На рис. 272 ΔSAB - осевое сечение конуса (SA = SB). Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

У прямого кругового конуса основание высоты совпадает с центром основания. На рис. 272 SO - высота конуса.

Нанесенный класса

1. 1. Приведите примеры бытовых предметов, которые имеют форму конуса.
2. 2. Радиус основания конуса равен 6 см, высота - 8 см. Найдите образующую конуса.
3. 3. Образующая конуса равна 5 см, а диаметр основания - 6 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Площадь поверхности и объем конуса

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по твірній (рис. 273).

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор, радиус которого равен твірній конуса, а длина дуги сектора - длине окружности основания конуса (рис. 274).

Площадью боковой поверхности конуса будем считать площадь ее развертки. Выразим площадь боковой поверхности конуса Sбоков через его образующую l и радиус основания R. Площадь кругового сектора - развертки боковой поверхности конуса (рис. 418) - равна , где n - градусная мера дуги АА1, поэтому Sбоков = . (1).

Выразим п через l и R. Поскольку длина дуги АА1 равна 2nR (длине окружности основания конуса), то 2nR = , отсюда n = .

Подставив это выражение в формулу (1), получаем: Sбоков = = ∙ = nRl.

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую: Sбоков = nRl.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади полной поверхности конуса Sкон получаем:

Sкон = Sбоков + Sосн, Sкон = nRl + nR2 = nR(l + R).

Объем конуса равен трети произведения площади его основания на высоту: V = nR2H .

Poсвязывание задач

1. 1. Высота конуса равна 6 см, радиус основания - 8 см. Найдите боковую поверхность конуса.
2. 2. Образующая конуса равна 5 см, высота - 4 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.
3. 3. Осевое сечение конуса - правильный треугольник, сторона которого равна 6 см. Найдите боковую поверхность конуса.
4. 4. Высота конуса равна 6 см, образующая - 10 см. Найдите объем конуса.
5. 5. Осевое сечение конуса - прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см. Найдите объем конуса.

Ученики составляют конспект (образец приведен в табл. 13).

Таблица 13

III. Закрепление и осмысление нового материала
Решение задач

1. 1. На рис. 275 изображен развертку конуса, Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса. (Ответ. 4n см2, n см3)

1. 2. Куча щебня имеет форму конуса, образующая которого равна 6 м, а угол между образующей и высотой этого конуса составляет 60°. Найдите объем щебня. (Ответ. 27м3)
2. 3. Образующая конуса равна l и образует с высотой конуса угол α. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса. (Ответ. nl2 sinα; nl3 sin2α cosα)

IV. Домашнее задание

1. 1. Изучить формулы площади поверхности и объема конуса.
2. 2. Решить задачу.

Образующая и высота конуса равны 15 см и 9 см. Найдите площадь его поверхности и объем.

V. Подведение итогов урока

Вопрос к классу

1. 1. Дайте определение прямого кругового конуса.
2. 2. Что такое осевое сечение конуса?
3. 3. Чему равна площадь боковой поверхности конуса?
4. 4. Чему равна площадь поверхности конуса?
5. 5. Чему равен объем конуса?
6. 6. Радиус основания конуса равен 3 см, а образующая - 5 см (рис. 276). Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.

а) Длина окружности основания конуса равна 9n см.

б) Площадь основания конуса равна 9n см2.

в) Площадь боковой поверхности конуса равна 15n см2.

г) Высота конуса равна 4 см.