УРОК № 56

Тема. Цилиндр. Площадь поверхности и объем цилиндра

Цель урока: повторение, приведение в систему и расширение сведений о цилиндр, площадь поверхности и объем цилиндра; формирование умений учащихся находить площади поверхностей и объемы цилиндров.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Начальные сведения стереометрии» [13]; модели цилиндров.

Требования к уровню подготовки учащихся: объясняют, что такое цилиндр и его элементы; изображают и находят на рисунке цилиндр; записывают и объясняют формулы площади поверхности и объема цилиндра; применяют изученный материал к решению задач, в том числе и прикладного содержания.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Проверить наличие выполненного домашнего задания и ответить на вопросы учеников, которые возникли у них при решении задач.

Решение

1) Пусть SABCD - правильная пирамида (рис. 258).

SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = AD = a.

Snip = Sосн + Sбоков = AB2 + 4 ∙ = а2 + а2 = a2(1 + ).

Ответ. а2(1 + ).

2) ABCD - ромб (рис. 259), AC = 8 см, BD = 6 cm, SO = 10 cm.

V = Sосн ∙ H = ∙ ∙ SO = ∙ ∙ 10 = 80 (см3).

Ответ. 80 см3.

3) SABCD - правильная пирамида (рис. 259). AC = 4 см, ASO = 45°.

AO = AC = ∙ 4 = 2 (см). SO = AO = 2 (см).

Sосн = AC2 = ∙ 42 = 8(см2). V = Sосн ∙ SO = ∙ 8 ∙ 2 = = 5 (см3).

Ответ. 5см3.

Фронтальная беседа

Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.

1. 1) Каждое ребро треугольной пирамиды равна 6 см (рис. 260).

а) Периметр основания пирамиды равен 36 см.

б) Площадь основания пирамиды равна 9 см2.

в) Площадь поверхности пирамиды равна 36 см2.

г) Основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.

1. 2) В основании пирамиды лежит квадрат со стороной 10 см, боковые ребра пирамиды равны 13 см (рис. 261).

а) Периметр основания пирамиды равна 40 см.

б) Все боковые ребра пирамиды равны.

в) Высота боковой грани пирамиды, проведенная из вершины пирамиды, равна 11 см.

г) Площадь боковой поверхности пирамиды равна 60 см2.

1. 3) В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной l и углом а при вершине (рис. 262). Высота пирамиды равна Н, основание высоты пирамиды - центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды.

а) Площадь основания пирамиды равна 12sinα.

б) Все боковые ребра пирамиды равны.

в) Все грани - равнобедренные треугольники.

г) Объем пирамиды равна Н12sinα.

II. Самостоятельная работа

Самостоятельную работу обучающего характера можно провести за пособием [14], тест 18 «Многогранники».

III. Поэтапное восприятие и осознание нового материала

Цилиндр и его элементы

Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг его стороны.

На рис. 263 изображен цилиндр, образованный вращением плоского прямоугольника ОАВО1 вокруг прямой ОО1 - оси цилиндра.

Стороны ОА и O1B описывают равные круги, которые лежат в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Радиусы кругов называются радиусами цилиндра.

Сторона АВ описывает поверхность, которая называется боковой поверхностью цилиндра. Отрезки боковой поверхности, которые параллельны и равны АВ, называются созидательными цилиндра.

Высотой цилиндра называется отрезок, перпендикулярный к основам, цилиндра, концы которого принадлежат основам. Высота цилиндра равна его твірній.

Осевое сечение цилиндра - прямоугольник со сторонами, равны высоте цилиндра и диаметру его основания. На рис. 264 прямоугольник ABCD - осевое сечение цилиндра.

Задача класса

1. 1. Приведите примеры бытовых предметов, которые имеют форму цилиндра.
2. 2. Пользуясь рис. 264, назовите:

а) радиус цилиндра;

б) образующую цилиндра.

1. 3. Какие свойства имеют основания цилиндра?
2. 4. Какие свойства имеют образующие цилиндра?
3. 5. Из кучи картона взяли лист и вырезали круг. Достали цилиндр с очень малой высотой. Как практически определить его высоту?
4. 6. Кусок тонкой проволоки можно считать цилиндром, у которого радиус очень мал. Как практически определить этот радиус?

Площадь поверхности и объем цилиндра

Поверхность цилиндра состоит из двух равных оснований и боковой поверхности.

Если поверхность цилиндра разрезать по окружностям оснований и одной из образующих, а затем развернуть на плоскости, то получим развертку цилиндра (рис. 265). Она состоит из прямоугольника, стороны которого равны длине окружности оснований и высоте цилиндра, и двух кругов, что является основаниями цилиндра.

Площади боковой и полной поверхности цилиндра называют площадь развертки боковой и полной поверхностей.

Тогда площадь боковой поверхности Sбоков и площадь полной поверхности Sцил определяются формулами:

Sбоков = 2πRH, Sцил = Sбоков + 2Sосн = 2nRH + 2nR2 = 2nR(H + R),

где R, H - радиус и высота цилиндра соответственно.

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту V = Sосн ∙ H.

Если радиус основания цилиндра равен R, а высота Н, то его объем V = nR2H.

Решение задач

1. 1. Диаметр цилиндра равен 1 см, а высота равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2. 2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15π см. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
3. 3. Осевым сечением цилиндра является квадрат со стороной 8 см. Найдите боковую и полную поверхности цилиндра.
4. 4. Найдите объем тела, образованного при вращении прямоугольника вокруг его стороны, которая равна 2 см.
5. 5. Осевое сечение цилиндра - квадрат со стороной 8 см. Найдите объем цилиндра.
6. 6. Найдите объем цилиндра, если развертка его боковой поверхности - квадрат со стороной 8 см.

Ученики составляют конспект (образец приведен в табл. 12).

Таблица 12

IV. Закрепление и осмысление нового материала

Решение задач

1. 1. На рис. 266 изображен развертку цилиндра. По приведенным данным найдите площадь и объем цилиндра. (Ответ. 8n см2 и 3n см3.)

1. 2. Диагональ АС осевого сечения ABCD цилиндра равна 10 см, а его высота ОО1 - 8 см (рис. 267). Найдите площадь поверхности и объем цилиндра. (Ответ. 66n см2 и 72n см)

1. 3. Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и образует угол α с образующей цилиндра. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра. (Ответ. nd2 sinα cosα, )

V. Домашнее задание

1. 1. Изучить формулу площади поверхности и объема цилиндра.
2. 2. Решить задачу.

Объем цилиндра - 8nсм3, а его высота - 2 см. Найдите диагональ осевого сечения и площадь боковой поверхности цилиндра.

VI. Подведение итогов урока
Вопрос к классу

1. 1. Дайте определение цилиндра.
2. 2. Что такое высота цилиндра? осевое сечение цилиндра?
3. 3. Чему равна площадь боковой поверхности цилиндра?
4. 4. Чему равен объем цилиндра?
5. 5. На рис. 268 изображен цилиндр, радиус которого равен 3 см, а высота - 4 см. Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.

а) Длина окружности основания цилиндра равна 6n см.

б) Площадь основания цилиндра равна 6π см .

в) Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2n см .

г) Объем цилиндра равен 24n см3.