Урок № 55

Тема. Решение упражнений на применение преобразований выражений

Цель: обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по способам преобразований целых выражений, приобретенных учащимися в ходе изучения алгебры в 7 классе; систематизировать знания о видах задач, которые предусматривают применение этих знаний и способов действий; отработать навыки классификации, выбора соответствующего способа решения названных видов выражений.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Ход урока

I. Организационный момент

Учитель проверяет готовность учеников к уроку, наличие учеников (фиксирует фамилии отсутствующих, сообщает тему урока.

II. Проверка домашнего задания

@ Поскольку основная часть домашнего задания - самостоятельная работа, то собираем тетради на проверку; если у учащихся возникли вопросы во время выполнения домашнего задания, то решаем их сразу же после сбора тетрадей.

III. Формулировка цели и задач урока

@ Учитель доходчиво для учащихся формулирует цель раздела («Применение преобразования выражений») и сообщает учащимся задачи на урок - систематизировать свои знания по поиску ответа на вопрос: «Какого наименьшего (наибольшего) значения может принимать выражение и при каком значении переменной, входящей в его состав?»

IV. Мотивация учебной деятельности

Учитель предлагает учащимся выполнить задание. Может ли значение выражения а2 - 4а + 7 равняться 1?

После некоторых рассуждений учащиеся могут прийти к выводу, что решение этой задачи можно довести до решения уравнения а2 - 4а + 7 = 1, подобное которому на предыдущих уроках уже решали, разложив левую часть на множители (выделив полный квадрат).

а2 - 4а + 7 = 1; (а2 - 4а + 4) + 3 = 1; (а - 2)2 + 3 = 1.

Но что делать с этим дальше? (Возможно, кто-то предложит перенести 3 в правую часть с противоположным знаком (а - 2)2 = -2 и воспользоваться свойством степени с четным показателем.)

Но учитель направляет мысль учащихся в другую сторону: можно узнать знак и наименьшее значение левой части равенства (а - 2)2 + 3 = 1?

Научиться оценивать знак и значение (наименьшее и наибольшее, если существует) выражения - то и является главным мотивом действий на этом уроке.

V. Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений

1. Определите знак выражения: а2; |а|; a2 + 7; |а| + 3; a2 + b2 + 3; (а - 1)2; (а - 1)2 + 3.

2. Какого наименьшего значение приобретает выражение: а2; |а|; а2 + 7; |а| - 3;

а2 + b2 + 3; (а - 1)2; (а - 1)2 + 3? Почему?

3. Какой знак имеет выражение: -а2; -|а|; -а2 - 7; -|а| - 3; -а2 - b2 - 3?

4. Которого наибольшее значение приобретают выражения в п. 3? При каких значениях переменных это происходит?

Вывод. Запомним, что

1) (А)2 ≥ 0, следовательно, (А)2 +В ≥ В, то есть А2 = 0 при А = 0 и наименьшее значение выражения А2 + В равна В.

2) -А2 ≤ 0, следовательно, -А2 + В ≤ В, то есть наибольшее значение выражения-А2 +В равна В при А = 0.

VI. Систематизация и обобщение знаний и умений

@ Основная работа заключается в том, чтобы установить логику процесса решения задач на оценку значения квадратного трехчлена и очертить круг задач, которые предусматривают осуществление оценки значения квадратного трехчлена.

Итак, из предыдущего этапа урока мы получили:

1) Выводы, которые можно еще раз озвучить:

- Квадрат любого выражения есть число неотрицательное.

- Квадрат любого выражения равна нулю, если это выражение равно нулю.

- Если квадрат некоторого выражения изменить на некоторое число, значение нового выражения будет отличаться от квадрата на это же число.

- Выражение, противоположный квадрата некоторого выражения является числом недодатним.

Желательно проиллюстрировать эти умозаключения достаточным количеством примеров, потому что это единственный пока способ добиться сознательного понимания данного соотношения (к сожалению, ученики еще не знакомы со свойствами числовых неравенств).

2) Примеры применения выводов:

а) Докажите, что выражение х2 + 2х +1 приобретает неотрицательных значений при любых х.

б) Докажите, что выражение х2 +2х+2 приобретает только положительные значения при любых х. Какого наименьшего значение приобретает это выражение? При каком значении х?

в) Решите уравнение (х - 1)2 + (х - 3)2 = 0.

г) Докажите, что не существует таких значений х и у, для которых выполнялось бы равенство х2 + у2 - 2х - 2у + 3=0.

Приведенные примеры подчеркивают, что свойства квадрата (в частности, умение выделить квадрат двучлена) используются при решении разнообразных задач:

а) х2 + 2х + 1 = (х + 1)2. Следовательно, (х + 1)2 ≥ 0.

б) х2 + 2х + 2 = (х2 + 2х + 1) + 1= (х + 1)2 + 1.

Поскольку (х + 1)2 ≥ 0, то (х + 1)2 + 1 ≥ 1, следовательно, выражение приобретает наименьшее значение, равное 1, при х + 1 = 0, т.е. при х = -1.

в) (х - 1)2 + (х - 3)2 = 0. Поскольку (х - 1)2 ≥ 0, (х - 3)2 ≥ 0, то их сумма будет равна 0, если каждое из слагаемых равно 0: (х - 1)2 = 0 и (х - 3)2 = 0, т.е. х = 1 и одновременно х = 3. Видим, что такого значения х нет. Ответ. Корней нет.

г) х2 + у2 - 2х - 2у + 3 = 0; (х2 - 2х + 1) + (у2 - 2у + 1) + 1 = 0;

(х - 1)2 + (у - 1)2 + 1 = 0, поскольку (х - 1)2 ≥ 0, (в- 1) ≥ 0, 1 > 0, то сумма

(х - 1)2 + (у - 1) +1 > 1 при любых значениях х и у, а следовательно, не существует таких х и у, чтобы выполнялось бы равенство.

VII. Усвоение умений и навыков

Выполнение письменных упражнений

1. Докажите, что выражение 4т2 + 4тп + п2 + 3 приобретает только положительные значения. Какое наименьшее значение этого выражения?

2. Найдите наименьшее значение выражения и значения переменной, при котором выражение приобретает малейшего значения:

1) х2 - 4х + 4; 2) х2 - 4х + 7; 3) х2 - 4х - 1.

3. Решите уравнение:

1) а2 - 4а + 7 = 1; 2) х2 - 2х - 15 = 0; 3) (х2 - 1)2 + (х - 1)2 = 0.

4. Докажите, что не существует чисел х и у, для которых выполнялось бы равенство 2х2 + 2у2 - 2ху - 2х - 2у + 3 = 0.

5. Докажите, что выражение приобретает лишь отрицательных значений: 1) -(а2 - 2а + 4); 2) - х2 + 4х - 5.

6. Найдите наибольшее значение выражения и значения переменной, при котором выражение принимает наибольшее значение.

VII. Итоги урока

Составляем схему.

IX. Домашнее задание

№ 1. Докажите, что выражение не приобретает отрицательных Значений. Найдите наименьшее значение выражения и значения переменной, при котором данное выражение приобретает малейшего значения:

1) а2 - 4а + 4;

2) х2 - 2ху + у2 + 4;

3) а2 + 6а + 9;

4) х2 - 6х + 10.

№ 2. Найдите наибольшее значение выражения и значения переменной, при котором выражение приобретает своего наибольшего значения:

1) -(х2 - 2х + 1);

2) -(х2 - 2х + 2);

3) -у2 + 2у - 4;

4) -х2 + 2х - 8;

5) -а2 - 4а + 3.

№ 3. Опережающее домашнее задание.

1) По справочнику (математика, 5-6 класс) повторить содержание понятия «число а делится на число b»; «делитель числа а», «кратное числу а»; как записать в виде равенства, что натуральное число а делится на натуральное число b.

2) Разложите на множители выражение:

а) 2452 - 2362;

б) 523 - 363;

в) 533 - 530;

г) 4n2 - 4n + 4.