УРОК № 55

Тема. Пирамида. Площадь поверхности и объем пирамиды

Цель урока: повторить, привести в систему и расширить сведения о пирамиды, площадь поверхности и объем пирамиды.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Начальные сведения стереометрии» [13]; модели пирамид.

Требования к уровню подготовки учащихся: объясняют, что такое пирамида и ее элементы; изображают и находят на рисунке пирамиду; записывают и объясняют-формулы площади поверхности и объема пирамиды; применяют изученный материал к решению задач, в том числе и прикладного содержания.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Проверить правильность выполнения домашнего задания за записями, сделанными на доске до начала урока.

Решение

1) Пусть ABCDFKA1B1C1D1F1K1 - правильная призма (рис. 249), АВ = 6 см, АА1 = 5 см.

Sбоков = 6 ∙ AB ∙ AA1 = 6 ∙ 6 ∙ 5 = 180 (см2).

Sосн = 6 ∙ SΔAOB = 6 ∙ = 6 ∙ = 54 (см2).

V = Sосн ∙ AA1 = 54 ∙ 5 = 270 (см3).

Ответ. 180 см2 и 270см3.

2) Пусть в прямой призме АВСА1В1С1 (рис. 250) B = 90°, АВ = 3 см, ВС = 4 см, АА1 = 10 см.

Sосн = АВ ∙ ВС = ∙ 3 ∙ 4 = 6 (см2). V = S ∙ AА1 = 6 ∙ 10 = 60 (см3).

Из треугольника ABC имеем: АС = = = 5 (см).

Sбоков = (AB + BC + AC) ∙ AA1 = (3 + 4 + 5) ∙ 10 = 120(см2).

Sпр = Sбоков + 2Sосн = 120 + 2 ∙ 6 = 132 (cм2).

Ответ. 60 см3, 132 см2.

3) Пусть в правильной призме АВСА1В1С1 (рис. 251) Sосн = 4см2, АА1 = 10 см.

Поскольку Sосн = , то 4 = , АВ2 = 16, отсюда АВ = 4 см.

Sбоков = 3 ∙ AB ∙ АА1= 3 ∙ 4 ∙ 10 = 120 (см2).

Ответ. 120 см2.

Фронтальная беседа

1. 1) Дайте определение n-кутной призмы.
2. 2) Какие свойства призмы вам известны?
3. 3) Какая призма называется прямой? правильной?
4. 4) Как вычисляется площадь полной поверхности призмы?
5. 5) Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы?
6. 6) Чему равен объем призмы?

Задача класса

Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными:

1. 1) На рис. 251 изображен прямую треугольную призму, в основании которой лежит прямоугольный треугольник ABC (B = 90°), АВ = 3 см, ВС = 4 см, АА1 = 10 см.

а) Площадь основания призмы равна 6 см2.

б) Объем призмы равен 120 см3.

в) АС = 7 см.

г) Площадь малейшей боковой грани равна 50 см2.

1. 2) На рис. 251 изображен прямую треугольную призму, в основании которой лежит правильный треугольник ABC, АВ = 10 см, АА1 = 5.

а) Боковые грани имеют одинаковую площадь.

б) Площадь боковой поверхности равна 50 см2.

в) Площадь основания призмы равна 5 см2.

г) Объем призмы равен 125см3.

1. 3) В основании прямой призмы (рис. 252) лежит квадрат. Диагональ боковой грани равна d и образует с боковым ребром угол α.

а) Высота призмы равна d sin ос.

б) Сторона основания призмы равна dsinα.

в) Площадь боковой поверхности призмы равна 4d2 sinα cosα.

г) Объем призмы равна d3 sinα cos2α.

II. Анализ результатов самостоятельной работы

III. Поэтапное восприятие и осознание нового материала

Пирамида и ее элементы

n-кутпною пирамидой называется многогранник, одна грань которого - произвольный n-угольник, а все остальные п граней - треугольники, имеющие общую вершину.

(Демонстрируются модели пирамид.)

Общую вершину треугольных граней называют вершиной пирамиды, противоположную ей грань - основой, а все остальные грани - боковыми гранями пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость ее основания, называют высотой пирамиды.

На рис. 253 изображен четырехугольную пирамиду SABCD; точка S - ее вершина, ABCD - основание; SA, SB, SC, SD - боковые ребра; АВ, ВС, CD, AD - ребра основания; SO - высота пирамиды.

Треугольную пирамиду называют также тетраэдром. Сумму площадей всех боковых граней пирамиды называют площадью боковой поверхности пирамиды. Чтобы найти площадь всей поверхности пирамиды, нужно к площади Sбоков ее боковой поверхности прибавить площадь Sосн основы: Smp = Sбоков + Sосн.

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника (рис. 254). (Демонстрируются модели правильных пирамид.)

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, все боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемою. На рис. 254 SFDC , SF - апофема.

Задача класса

1. 1. Сколько граней, ребер, вершин имеет n-угольная пирамида?
2. 2. Каждое ребро тетраэдра равен 2 см. Найдите площадь поверхности тетраэдра.
3. 3. Постройте треугольную и четырехугольную пирамиды.

Площадь поверхности и объем пирамиды

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению півпериметра ее основания на апофему.

Доведение

Пусть а - сторона основания правильной n-кутной пирамиды (рис. 255). SHBC, SH = m.

Тогда площадь боковой грани правильной пирамиды равна am, а площадь боковой поверхности Sбоков = аmn. Так аn = р, где р - полупериметр основания пирамиды, то Sбоков = pm.

Объем любой пирамиды равен трети произведения площади ее основания на высоту: V = Sосн ∙ H.

Задача класса

1. 1. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 12 см, а апофема 10 см.
2. 2. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна 16 см, а боковое ребро 10 см.
3. 3. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а высота 10 см.

Ученики составляют конспект (образец приведен в табл. 11).

Таблица 11

IV. Закрепление и осмысление нового материала

Решение задач

1. 1. В основании пирамиды SABC, изображенной на рис. 256, лежит прямоугольный треугольник ABC (C = 90°), AC = 3 см, ВС = 4 см. Вычислите объем пирамиды, если высота SA равна 5 см. (Ответ. 10 см3)

1. 2. В основе ABCD правильной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 10 см. Высота SO пирамиды равна 12 см. Найдите площадь поверхности и объем пирамиды. (Ответ. 360 см2, 400 см3)
2. 3. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см. Высота пирамиды 10 см. Найдите объем пирамиды. (Ответ. 50 см3)
3. 4. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, каждое ребро которой равно а. (Ответ. а3)
4. 5. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны и имеют длины 3 см, 4 см и 5 см. Найдите ее объем. (Ответ. 10 см3)
5. 6. В правильной четырехугольном пирамиде боковое ребро равно 10 см. Найдите:

а) высоту пирамиды, если диагональ основания равна 16 см;

б) апофему пирамиды, если сторона основания равна 12 см.

1. 7. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 12 см и образует с высотой пирамиды угол 30°.
2. 8. Одна из самых величественных сооружений древности - пирамида Хеопса - имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 150 м, а боковое ребро - 220 м. Найдите площадь основания пирамиды. (Ответ. 51800м2)
3. 9. На рис. 257 изображен развертку четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит квадрат со стороной 6 см, боковые грани пирамиды - правильные треугольники. Найдите высоту пирамиды и ее объем. (Ответ. 3см и 36см3.)

1. 10. В основе пирамиды лежит прямоугольник с диагональю d и углом а между диагоналями. Высота пирамиды равна Н, основание высоты пирамиды - точка пересечения диагоналей прямоугольника. Найдите объем пирамиды. (Ответ. Hd2sinα.)

V. Самостоятельная работа

Вариант 1

1. 1. В правильной четырехугольном пирамиде высота равна 6 см, а диагональ основания - 16 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
2. 2. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, каждое ребро которой равно 2 см.
3. 3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 4 см и образует с высотой пирамиды угол 30°. Найдите объем пирамиды.

Вариант 2

1. 1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а апофема - 3 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
2. 2. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 2 см, а высота пирамиды - 6 см.
3. 3. Длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 60°. Найдите объем пирамиды.

Ответы к заданиям самостоятельной работы

Вариант 1. 1. 10 см. 2. 3см2. 3. см3.

Вариант 2. 1. 5 см. 2. 8см3. 3. 12 см3.

VI. Домашнее задание

1. 1. Изучить формулы площади поверхности и объема правильной пирамиды.
2. 2. Решить задачи.
3. 1) Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, каждое ребро которой равно а.
4. 2) В основании пирамиды лежит ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Высота пирамиды равна 10 см. Найдите объем пирамиды.
5. 3) Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, диагональ основания которой равна 4 см, а боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 45°.

VII. Подведение итогов урока

Вопрос к классу

1. 1. Что называется n-угольной пирамидой?
2. 2. Какая пирамида называется правильной?
3. 3. Какие свойства правильной пирамиды вам известны?
4. 4. Чему равна площадь поверхности пирамиды?
5. 5. Чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
6. 6. Чему равен объем пирамиды?