Урок № 56

Тема. Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Цель: добиться усвоения учащимися определение квадратного трехчлена и его корней, а также формулу разложения квадратного трехчлена на линейные множители; сформировать умение воспроизводить изученные определения и формулы и использовать их для решения задач на нахождение корней квадратного трехчлена, разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

Тип урока: усвоение знаний и умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект «Квадратный трехчлен».

Ход урока

I. Организационный этап

На этом этапе урока следует предоставить учащимся информацию о:

· ориентировочный план изучения раздела;

· количество учебных часов;

· примерное содержание материала;

· основные требования к знаниям и умениям учащихся;

· примерное содержание заданий, которые будут вынесены на контроль.

(Эту информацию можно поместить на стенде «Справочно-информационный уголок» в кабинете математики и для экономии времени предложить учащимся для самостоятельного ознакомления во внеурочное время).

II. Проверка домашнего задания

Собрать тетради учеников на проверку качества выполнения анализа контрольной работы.

III. Формулировка цели и задач урока

Учитель сообщает ученикам о том, то умение решать квадратные уравнения является одним из важнейших для дальнейшего изучения не только алгебры, но и многих смежных дисциплин. Так, тема целиком посвящена изучению вопроса о сфере применения умений решать квадратные уравнения во время выполнения заданий, предусмотренных программой по математике в 8 классе.

Целью этого и следующего уроков является изучение способа применения квадратного уравнения для разложения многочленов на множители.

IV. Актуализация опорных знаний и умений

@ С целью успешного восприятия учащимися учебного материала следует активизировать знания и умения учащихся: выполнение арифметических действий с рациональными числами; выполнение арифметических действий с рациональными выражениями; применение различных способов и приемов решения квадратных уравнений различных видов.

Выполнение устных упражнений

1. Разложите на множители выражение: а) х2 - 144; б) 7 - у2; в) а3 + 2а2 +а; г) т3 + 1; д) b2 - 10b + 25; е) b2 - а2 + b - а; ж) (m - 1)2 - 4.

2. Имеет ли квадратное уравнение корни? Если имеет, то сколько: a) x2 - 2x + 1 = 0; б) x2 - 5 = 0; в) х2 + 1 = 0; г) 3x - x2 = 0.

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Что такое квадратный трехчлен?

2. Что называется корнем квадратного трехчлена? Как найти все корни квадратного трехчлена?

3. По какой формуле можно разложить квадратный трехчлен на множители? Какие действия следует выполнить, чтобы разложить данный квадратный трехчлен на линейные множители (если это возможно на множестве действительных чисел)?

@ Изучая материал урока по представленному плану, учащиеся должны усвоить определение квадратного трехчлена и уметь отличать его среди других выражений, а также приводить свои примеры квадратных тричленів (этому способствует выполнение соответствующих устных упражнений).

Кроме того, учащиеся должны осознать, что задача о отыскания корней квадратного трехчлена сводится к решению соответствующего квадратного уравнения (поэтому перед изучением темы следует организовать повторение материала, связанного с решением квадратного уравнения - см. этап актуализации...). Следует подчеркнуть, что разложение квадратного трехчлена на линейные множители по формуле является еще одним из способов разложения многочленов на множители, который широко применяется в курсе алгебры.

Учащиеся должны знать определение квадратного трехчлена, определение корня квадратного трехчлена, формулу разложения квадратного трехчлена на линейные множители. Осознанному восприятию учащимися нового материала может способствовать интерактивная форма записи конспекта урока: в виде диалога - вопрос - ответ.

VI. Формирование умений

Выполнение устных упражнений

1. Является ли число 1; 0; корнем квадратного трехчлена: а) 2х2 - 5х + 3; б) ; в) х2 - х?

2. Докажите, что квадратный трехчлен х2 + 2 не имеет корней.

3. Имеет ли квадратный трехчлен корни и если имеет, то сколько: а) х2 + 2х + 1; б) х2 + 5; в) х2 - 1; г) -3х + х2?

4. Известно, что а - первый коэффициент, a х1 и х2 - корни некоторого квадратного трехчлена. Представьте трехчлен в виде произведения, если:

а) а = 1; х1 = 2; х2 = -3; б) а =3; ; .

Выполнение письменных упражнений

Для реализации дидактической цели урока следует решить задачи следующего содержания:

1. Нахождение корней квадратного трехчлена.
Найдите корни квадратного трехчлена:

а) x2 + x - 12; б) х2 - 2х - 35; в) 3х2 + 16х + 5; г) 7х2 - 96х - 28; д) х2 - 10х + 18;) 16х2 + 24х + 3; ж) 4х2 - 28х + 49; с) х2 + 3х + 5.

2. Нахождения количества корней квадратного трехчлена.

3. Разложение на множители квадратный трехчлен. Можно разложить на линейные множители квадратный трехчлен?

1) Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) а2 - 13а + 22; б) -b2 + 2b + 24; в) 100с2 - 50c + 6; г) ; д) ; е) m2 - 6m - 1; ж) 4х2 - 20х + 25; с) -3х2 + 7х - 5.

2) При каких значениях а можно разложить на линейные множители квадратный трехчлен:

а) 2х2 + 7х - а; б) ах2 + 4х + 8; в) 3х2 - 5ах - 1; г) (a - 1)х2 + 6ах + 6?

4. Логические упражнения и задачи повышенного уровня сложности для учащихся, имеющих достаточный и высокий уровни знаний.

1) Разложите на множители трехчлен:

а) х2 - 2ху + 63у2; б) 2а2 + 7аb + 3b2; в) 3m2 +11mn - 4n2.

2) Найдите пропущенный выражение:

5. На повторение: выделить квадрат двучлена из выражения.

@ Решение задач на нахождение корней, исследование существования корней квадратного трехчлена сводится к решению соответствующего квадратного уравнения (соответствующие сведения активизирована на этапе актуализации). Перед решением задач, требующих разложения квадратного трехчлена на линейные множители, уместно сначала выяснить, возможно ли оно, т.е. определить знак дискриминанта квадратного трехчлена, и только после этого выполнять разложение на множители, если это возможно.

Задачи на повторение имеет целью подготовить учащихся к восприятию некоторых свойств квадратного трехчлена, о которых речь пойдет в следующем уроке.

VII. Итоги урока

Укажите правильный ответ.

1) Корень трехчлена 3х2 - 13х +4: а) 4; б) ; 4; в) 1; 12; г) - 1; - 12.

2) Расписание трехчлена 3х2 - 13х + 4 на линейные множители имеет вид:

а) ; б) ; в) ; г) (3х - 1)(х + 4).

VIII. Домашнее задание

1. Изучить содержание основных новых понятий, уметь отвечать на вопросы (см. конспект).

2. Решить упражнения на нахождение корней квадратного трехчлена и на разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

3. На повторение: теорема Виета и обратная теорема, их применение для решения квадратных уравнений; решить задачи на выделение полного квадрата.