УРОК 56

Тема. Логарифмическая функция, ее график и свойства

 

Цель урока. Ознакомить учащихся с логарифмической функцией, ее свойствами и графиком.

И. Проверка домашнего задания

1. Три ученика воспроизводят решение упражнений № 13, 15, 20.

2. Решение упражнений, аналогичных домашним.

а) Вычислите: ; .

Решение

=====·=.

====·= 5.

б) Вычислите .

==== 52 · 3-2 = 25 · = = .

 

II. Анализ самостоятельной работы, проведенной на предыдущем уроке

 

III. Усвоение свойств логарифмической функции и ее графика

Функция вида у = loga x, где а - заданное число, а > 0, а ≠ 1 называется логарифмической функцией.

Логарифмическая функция имеет следующие свойства:

1) Область определения функции - множество всех положительных чисел. Это свойство следует из определения логарифма, поскольку выражение loga х имеет смысл только при х > 0.

2) Область значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел. Это свойство следует из того, что для любого действительного числа b есть такое положительное число х, что loga x = b, т.е. уравнение loga x = b имеет единственный корень. Такой корень существует и равна х = аb, поскольку loga ab = b.

3) Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при а > 1) или убывает (при 0 а 1). Пусть а > 1. Докажем, что если x2 > х1 > 0, то

loga х2 > loga x1. Пользуясь основной логарифмической тождественностью, условием x2 > х1, можно записать . Из последнего неравенства по свойству степени с основанием а > 1 имеем, что loga х2 > loga x1.

Пусть 0 а 1. Докажем, что если x2 > х1 > 0, то loga х2 loga x1. Записав условие x2 > х1 в виде получаем loga х2 loga x1, поскольку 0 а 1.

4) Если а > 1, то функция у = loga x принимает положительные значения при х > 1, отрицательные при 0 х 1. Если 0 а 1, то функция у = loga x принимает положительные значения при 0 х 1, отрицательные при х > 1.

Это свойство следует из того, что функция у = loga x принимает значение, равное нулю, при х = 1 и является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 1, и убывающей, если 0 а 1. Опираясь на доказанные свойства, нетрудно построить график функции у = loga x (рис. 163).

 

 

 

Рис. 163

 

Графики показательной функции и логарифмической функции, которые имеют одинаковые основы, симметричные относительно прямой у = х (рис. 164), ибо функции у = 0х и у = loga x является взаємнооберненими.

 

IV. Осмысление свойств логарифмической функции

1. Устное выполнение упражнений № 37-39, 40.

2. Письменное выполнение упражнений № 46, 50.

 

 

 

Рис. 164

 

V. Систематизация изученного материала

Повторение свойств логарифмической функции и заполнение таблицы 23.

Таблица 23

Логарифмическая функция
	1. D(y) = .... 2. Е(у) = ....
a > 1 3. Если х1 x2 то ....................... 4. loga x > 0, если..... loga х = 0, если..... loga x 0, если.....			0 а 1 3. Если х1 x2 то ....................... 4. loga x > 0, если..... loga х = 0, если..... loga x 0, если.....

 

VI. Подведение итогов урока

 

VII. Домашнее задание

Раздел V § 2. Вопросы и задания для повторения раздела V № 15-25. Упражнения № 44, 49.