УРОК № 54

Тема. Прямая призма. Площадь поверхности и объем призмы

Цель урока: повторить, привести в систему и расширить сведения о многогранниках, прямую призму, площадь поверхности и объем призмы.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Начальные сведения стереометрии» [13], модели прямых призм.

Требования к уровню подготовки учащихся: объясняют, что такое прямая призма и ее элементы; изображают и находят на рисунке прямую призму; записывают и объясняют формулы площади поверхности и объема прямой призмы; применяют изученный материал к решению задач, в том числе и прикладного содержания.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. 1. Проверить правильность выполнения домашнего задания за записями, сделанными на доске до начала урока.

Задача 1

Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед (рис. 241, с. 228). АВ = ВС = 2 см, ВВ1 = 1 см.

Найдите: ВВ1, В1А1, В1С1, B1D1, B1С, B1D, B1A.

Решение

ВВ1 = 1 см. А1В1 = В1С1 = 2 см,

B1D1 = = = 2 (см).

B1A = B1C = = (см).

B1D = = = 3 (см).

Задача 2. Пусть α || β, a || b (рис. 242). Прямые a и b пересекают плоскости α и β в точках A1, А2 и В1, В2. Через прямые a и b проведем плоскость γ, которая пересекает α и β на прямых А1B1 и А2В2, причем А1В1 || А2В2.

Тогда А1А2В2В1 - параллелограмм, поскольку у него противоположные стороны попарно параллельны, а в паралелограмі противоположные стороны равны. Следовательно, А1А2 = В1В2.

1. 2. Фронтальная беседа
2. 1) Каким может быть взаимное расположение двух плоскостей в пространстве?
3. 2) две плоскости называются параллельными?
4. 3) Приведите примеры параллельных плоскостей в предметов из окружающей среды.
5. 4) В каком случае две плоскости будут параллельными?
6. 5) Как могут располагаться в пространстве прямая и плоскость?
7. 6) Сформулируйте определение прямой, перпендикулярной к плоскости.
8. 7) Что такое перпендикуляр? наклонная?

II. Самостоятельная работа

Самостоятельную работу обучающего характера можно провести за пособием [14], тест 17 «Прямые и плоскости в пространстве».

III. Поэтапное восприятие и осознание нового материала

Многогранник и его элементы

Фигуры, которые изучает стереометрия, называют телами. Наглядно тело представляют как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. (Демонстрируем модели многогранников.)

Многогранником называется тело (часть пространства), ограничено конечной количеством плоских многоугольников (рис. 243). Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями, их стороны - ребрами, а вершины - вершинами многогранника.

На рис. 243 гранями являются многоугольники: ABC, А1В1С1, АВВ -1A1, ВВ1C1С, АА1C1С; ребрами - стороны АС, ВС, АВ, АА1, ВВ1, CC1, A1B1, A1C1, B1C1, вершинами - точки А, В, С, A1, В1, С1.

Задача класса

1. 1. Приведите примеры предметов быта, имеющих форму многогранников.
2. 2. Сколько вершин, ребер, граней имеет: а) параллелепипед; б) куб?
3. 3. Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?
4. 4. Постройте многогранник, который имеет 4 грани. Сколько ребер и сколько вершин он имеет?
5. 5. Если поверхность многогранника разрезать по нескольким его ребрах и разложить на плоскости, то получим развертку данного многогранника. На рис. 244 приведены развертки куба. Постройте развертки куба, отличные от приведенных.

Призма и ее элементы

Многогранник, две грани которого - равные n-угольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные п граней - параллелограммы, называется n-угольной призмой (рис. 245). (Демонстрируем модели призм.)

Равные n-угольники призмы называются основами, а параллелограммы - боковыми гранями, стороны основания - ребрами основы, остальные ребра - боковыми ребрами.

Из определения призмы следует, что основания призмы уровне, а также лежат в параллельных плоскостях. Боковые ребра параллельны и равны.

Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Площадью поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней. Так как основания равны, то Snp = S6ічн + 2Sосн, где Snp - площадь поверхности призмы; S6ічн - площадь боковой поверхности призмы; Sосн - площадь основания.

Задача класса

1. 1. Сколько граней имеет n-угольная призма? Может призма иметь 10 граней?
2. 2. Сколько ребер имеет п-угольная призма? Может призма иметь 10 ребер?
3. 3. Сколько вершин имеет п-угольная призма? Может призма иметь 10 вершин?
4. 4. Сколько граней имеет 15-угольная призма? А вершин? А ребер?

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основанию. (Демонстрируются модели прямых призм.)

Прямая призма называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник. (Демонстрируются модели правильных призм.)

Следует отметить, что боковыми гранями прямой призмы являются прямоугольниками.

Площадь поверхности и объем прямой призмы

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на длину ребра.

Доведение

Пусть а1, а2, ..., ап - стороны основания призмы, h - длина бокового ребра (рис. 246).

Тогда а1 + а2 + ... + аn = Р - периметр основания. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней:

Sбоков = a1h + a2h + ... + anh = (а1 + а2 +... an)h = Ph.

Прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник, называется прямоугольным собой параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед, все ребра которого равны, называется кубом.

В младших классах вы уже вычисляли объем прямоугольного параллелепипеда по формуле

V = abc, (1)

где a, b, c - соответственно длина, ширина и высота параллелепипеда. Формулу (1) можно записать в виде

V = Sh, (2)

где S = ab - площадь основания, h = c - высота параллелепипеда.

Формула (2) справедлива для любой прямой призмы. Итак:

Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на длину бокового ребра (высоту): V = Sh.

Задача класса

1. 1. Найдите площадь поверхности куба, ребро которого равно 5 см.
2. 2. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны 3 см и 4 см, а боковое ребро 5 см.
3. 3. Основа прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, а боковое ребро равно 5 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.
4. 4. Найдите объем куба, ребро которого равно 5 см.
5. 5. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны 3 см и 4 см, а боковое ребро - 5 см.
6. 6. Основа прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, а боковое ребро - 5 см. Найдите объем призмы. Составляем конспект учащихся (табл. 10).

Таблица 10

IV. Закрепление и осмысление нового материала

Решение задач

1. 1. Найдите объем правильной треугольной призмы, ребро основания которой равна 2 см, а боковое ребро - 10 см.
2. 2. Найдите площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности треугольной призмы, каждое ребро которой равно 2 см.
3. 3. В основе прямой призмы лежит треугольник со сторонами 7 см, 5 см, 6 см. Боковое ребро призмы равно 4 см. Найдите объем призмы.
4. 4. В основе прямой призмы лежит ромб со стороной 5 см и острым углом 30°. Высота призмы равна 6 см. Найдите объем призмы, площадь полной поверхности призмы.
5. 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра АВ = 3 см, AD = 4 см и АА1 = 5 см. Найдите площадь поверхности и объем параллелепипеда. (Ответ. 94см2, 60см3.)
6. 6. На рис. 247 изображен развертку прямой треугольной призмы. По приведенным данным найдите площадь поверхности и объем призмы. (Ответ. 60см2, 24см3.)

1. 7. Стог сена имеет форму прямой призмы с пятиконечной основой (рис. 248). Размеры скирды (в метрах) представлена на рисунке. Найдите объем скирды и массу сена в стоге, если плотность сена равна 0,03 т/м3. (Ответ. 19,8 т.)

1. 8. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна l и образует с боковым ребром угол α. Найдите площадь боковой поверхности призмы. (Ответ. 312 sinα cosα.)

V. Самостоятельная работа

Вариант 1

1. 1. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 3 см, а боковое ребро - 5 см.
2. 2. Найдите объем прямой четырехугольной призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 12 см и 16 см, а боковое ребро - 10 см.
3. 3. В основе прямой призмы лежит квадрат. Диагональ призмы равна d и образует с боковым ребром угол α. Найдите объем призмы.

Вариант 2

1. 1. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 3 см, а боковое ребро - 5 см.
2. 2. Найдите площадь боковой поверхности прямой четырехугольной призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями 12 см и 16 см, а боковое ребро равно 10 см.
3. 3. В основе прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом α. Боковое ребро призмы равна наибольшей стороне основания призмы. Найдите объем призмы.

Ответы к заданиям самостоятельной работы

Вариант 1. 1. 45см2. 2. 960см3. 3. d2 sin2α cosα.

Вариант 2. 1. 45 см3. 2. 400 см2. 3. c3 sinα cosα.

VI. Домашнее задание

1. 1. Изучить формулы площади поверхности и объема прямой призмы.
2. 2. Решить задачи.
3. 1) Найдите площадь боковой поверхности и объем правильной шестиугольной призмы, если сторона ее основания равна 6 см, а высота - 5 см.
4. 2) Найдите объем и площадь полной поверхности прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, а боковое ребро призмы равно 10 см.
5. 3) Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, площадь основания которой равна 4 см2, а боковое ребро - 10 см.

VII. Подведение итогов урока
Вопрос к классу

1. 1. Что такое n-угольная призма?
2. 2. Какая призма называется прямой? правильной?
3. 3. Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы?
4. 4. Чему равен объем призмы?
5. 5. Ребро куба равно 5 см. Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильными.

а) Площадь одной грани куба равна 20 см2.

б) Площадь поверхности куба равна 150 см2.

в) Объем куба равен 150 см3.

г) Диагональ грани куба равна 5 см.