Урок 55

Тема. Угол между плоскостями

Цель урока: формирование понятия угла между плоскостями и умений учащихся находить углы между плоскостями.

Оборудование: стереометрический набор, модель куба.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Фронтальное опрашивание.

1) Что такое угол между прямой и плоскостью?

2) Чему равен угол между прямой и плоскостью, если известно, что прямая:

а) параллельна плоскости;

б) перпендикулярна к плоскости?

3) В каких пределах находится угловая мера угла между прямой и плоскостью?

4) правильно Ли, что:

а) прямая, которая пересекает параллельные плоскости, пересекает их под одинаковыми углами;

б) плоскость, которая пересекает параллельные прямые, пересекающие их под одинаковыми углами?

2. Ответы на вопросы учащихся, возникшие у них при выполнении домашних задач.

Задача № 36.

Дано: АВ = а; АСα; 1) ABC = 45°; 2) ABC = 60°; ABC = 30° (рис. 284).

Найти: ВС.

Решение

1) BC = AB cos ABC = a cos 45° = ;

2) ВС = AB cos ABC = a cos60° = ;

3) BC = AB cos ABC = a cos 30° = .

B и д п о в и д ь. а) ; б) ; в) .

Задача № 38.

Дано: АОα; АО = a; ABO = 30°; ACO = 45°;

CAB = 90° (рис. 285).

Найти: ВС.

Решение

1) С ΔАОВ АВ = = = 2a.

2) Из ΔАОС АС = = = a.

3) Из ΔАВС ВС = = = а.

Ответ. а.

Задача № 40.

Дано: АОα ; АО = а; ABO = ACO = 30°; BOC = 120° (рис. 286).

Найти: ВС.

Рис. 286

Решение

1) ΔАОВ = ΔАСО, отсюда BO = CO.

2) Из ΔАОС OC = AO ctg ACO = a ctg 30° = a.

3) ΔВОС - равнобедренный. Проведем ОКВС, тогда BOK = KOC = 120° : 2 = 60°.

4) С ΔВKС КС = ОС sin KOC = аsin60° ==.

Тогда ВС = 2КС = 2 · = 3а.

Ответ. 3а.

3. Математический диктант.

SO(ABO), SA и SB - наклонные, SO = а , AOB = 90°.

Вариант 1. SAO = 60°, SBO = 45° (рис. 287).

Вариант 2. SAO = 45°, SBO = 30° (рис. 288).

Пользуясь рисунком, найдите:

1) проекцию наклонной SA на плоскость АОВ; (2 балла)

2) длину наклонной SA; (2 балла)

3) проекцию наклонной SB на плоскость АОВ; (2 балла)

4) длину наклонной SB; (2 балла)

5) расстояние между основаниями наклонных; (2 балла)

6) расстояние между прямыми SO и АВ. (2 балла)

Ответ. Вариант 1. 1) ; 2) ; 3) а; 4) a; 5) ; 6) .

Вариант 2. 1) а; 2) а; 3) а; 4) 2; 5) 2; 6) .

II. Восприятие и осознание нового материала

Понятие угла между плоскостями

Пусть даны две плоскости α и β, которые пересекаются по прямой с (рис. 289). Проведем плоскость, которая перпендикулярна к прямой с, она пересечет плоскости α и β по прямым а и b. Угол между прямыми а и b называется углом между плоскостями α и β.

Угол между двумя плоскостями, которые пересекаются,- это угол между прямыми пересечения этих плоскостей с плоскостью, перпендикулярной к линии пересечения данных плоскостей. Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0°. Если плоскости перпендикулярны, то угол между ними равен 90°. Итак, если φ - угол между плоскостями, то 0°φ90°. Далее учащиеся самостоятельно знакомятся с доказыванием того, что назван так угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости, по учебнику (§ 4, п. 33).

Решение задач

1. Дано изображение куба. Найдите угол между плоскостями АВС и ABD (рис. 290).

Рис. 290

Ответ, а) 90°; б) 45°; в) arctg ; г) 2arctg ; д) 0°; е) 90°.

2. Задача № 43 из учебника (с. 57).

3. Задача № 44 из учебника (с. 57).

4. Задача № 46 из учебника (с. 58).

5. Задача № 47 из учебника (с. 58).

III. Домашнее задание

§4, п. 33; контрольный вопрос № 16; задачи № 42, 45 (с. 57).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Дайте определение угла между плоскостями.

2) зависит Ли величина угла между плоскостями от выбора секущей плоскости?

3) Плоскости α и β пересекаются по прямой m (рис. 291), точка А принадлежит плоскости α, точка В - в плоскости β, точка С - прямой m; АСm, ВСm, ACB = 60°. Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) плоскость АВС перпендикулярна к прямой m;

б) углом между плоскостями α и β является угол между прямыми ВС и m;

в) угол между плоскостями α и β равен углу между прямой АС и плоскостью β;

г) угол между плоскостями α и β больше 60° ;

д) угол между плоскостями α и β равен 120°.