УРОК № 53

Тема. Взаимное расположение прямой и плоскости и плоскостей в пространстве. Перпендикуляр к плоскости. Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Цель урока: повторить, привести в систему и расширить сведения о плоскость и взаимное расположение двух плоскостей в пространстве; познакомить учащихся с различными случаями взаимного расположения прямой и плоскости; дать представление о перпендикуляр к плоскости.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Начальные сведения стереометрии» [13].

Требования к уровню подготовки учащихся: описывают взаимное расположение в пространстве прямой и плоскости, двух плоскостей, применяют изученные определения и свойства к решению задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

Проверить выполнение домашнего задания с записями, сделанными на доске до начала урока.

Дано: АВ САВ (рис. 229).

Докажите: прямая АВ и точка С лежат в плоскости α.

Доведение

Возьмем точку D, которая лежит на прямой АВ. Проведем прямую CD. Через прямые АВ и CD, которые пересекаются, проводим плоскость α. Что и требовалось доказать.

Фронтальная беседа

1. 1) Что изучает стереометрия?
2. 2) Назовите основные геометрические фигуры стереометрии.
3. 3) Сформулируйте аксиомы стереометрии.
4. 4) Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве возможно?
5. 5) Сколько различных плоскостей можно провести через:

а) три точки, не лежащие на одной прямой;

б) три точки; которые лежат на одной прямой;

в) прямую и точку, не принадлежащую этой прямой?

II. Поэтапное восприятие и осознание нового материала

Взаимное расположение двух плоскостей

Мы знаем, что если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, которая проходит через эту точку. Это утверждение - аксиома стереометрии. Отсюда следует, что две плоскости либо пересекаются по прямой, или не пересекаются, т.е. не имеют общих точек (рис. 230).

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Представление о параллельных плоскости дают пол и потолок классной комнаты, две противоположные стены классной комнаты, поверхность стола и плоскость пола.

Если плоскости α и β параллельны, то пишут: α || β.

Две плоскости будут параллельны, если две прямые, лежащие в одной плоскости и пересекаются, параллельны двум прямым другой плоскости (рис. 231), т.е. если a || a1, b || b1, то α || β. Доказательства этого утверждения мы опускаем.

Задача класса

1. 1. Приведите примеры параллельных плоскостей из окружения.
2. 2. На моделях куба, прямоугольного параллелепипеда покажите параллельные плоскости и плоскости, которые пересекаются.
3. 3. Пользуясь изображением прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 223), укажите:

а) грани, которые пересекают грань ABCD;

б) плоскости, параллельные плоскости ABC.

1. 4. Дано: куб ABCDA1B1C1D1. Докажите параллельность плоскостей:
   а) АВС и A1B1C1; б) AB1D1 и BDC1.

В ходе объяснения нового материала учащиеся составляют конспект (табл. 8).

Таблица 8

Плоскость и прямая, не лежащая в плоскости, либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости

1. 1. Плоскость α не имеет общих точек с прямой а. Прямая и плоскость, которые не имеют общих точек, называются параллельными, обозначаются а || α (рис. 232).
2. 2. Плоскость α имеет с прямой а только одну общую точку. В этом случае говорят, что прямая а и плоскость α (рис. 233) пересекаются.
3. 3. Прямая а лежит в плоскости α (рис. 234).

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходит через точку пересечения.

На рис. 235 прямая с перпендикулярна к плоскости α. Пишут: cα. Из определения следует, что сa, сb, ... .

Представление о прямую, перпендикулярную к плоскости, дают вертикальные столбы - они перпендикулярны к поверхности земли, перпендикулярные к любой прямой, проходящей через основание столба и лежит в плоскости земли.

Как проверить, перпендикулярна данная прямая в данной плоскости? Этот вопрос имеет практическое значение, например, при установке мачт, колонн и т.п., которые нужно устанавливать вертикально, то есть перпендикулярно к плоскости земли. На самом деле нет необходимости проверять перпендикулярность прямой до всех прямых, лежащих в данной плоскости и проходят через точку пересечения данной прямой и плоскости. Достаточно проверить перпендикулярность лишь двух прямых, лежащих в плоскости и проходят через точку пересечения прямой и плоскости. Справедлива такая теорема:

Если прямая перпендикулярна к двум прямым, которые пересекаются и лежат в плоскости, то данная прямая перпендикулярна к плоскости.

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Перпендикуляром к плоскости называется отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости, что содержится между данной точкой прямой и точкой пересечения ее с плоскостью.

На рис. 236 АО - перпендикуляр к плоскости. Любой другой отрезок, соединяющий точку А с произвольной точкой В плоскости α, называется наклонной. Отрезок ВО называют проекцией наклонной АВ на плоскость α.

Выполнение упражнений

1. 1. На предметах окружающей среды покажите различные случаи взаимного расположения прямой и плоскости.
2. 2. Определите взаимное расположение плоскости ABC (используя изображение куба ABCDA1B1C1D1 на рис. 237) и прямых:

a) CD; б) АС1; в) B1D; г) DС1; д) D1С1; В1D1.

1. 3. Укажите в окружающей среде модели перпендикулярных прямых и плоскостей.
2. 4. Правильно ли, что если прямая не перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна ко всякой прямой, лежащей в этой плоскости?
3. 5. Как вы понимаете утверждение: прямая не перпендикулярна к плоскости?
4. 6. Прямая SA перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD (рис. 238). Укажите перпендикулярные прямые.

1. 7. Дано изображение куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 239). Докажите, что:

а) прямая АА1 и перпендикулярна к плоскости ABC;

б) прямая AD перпендикулярна к плоскости DCC1;

в) прямая B1D1 перпендикулярна к плоскости A1C1C;

г) прямая A1B1 перпендикулярна к прямой BC1.

д) треугольник AB1C1 прямоугольный.

есть) четырехугольник AB1C1D1 - прямоугольник.

1. 8. Найдите длину наклонной, если длина перпендикуляра равна 4 см, а проекция наклонной на плоскость - 3 см.
2. 9. Найдите проекцию наклонной на плоскость, если наклонная равна 13 см, а перпендикуляр, проведенный из этой точки, - 12 см.
3. 10. Найдите длину перпендикуляра, если наклонная равна 10 см, а проекция наклонной на плоскость - 8 см. В табл. 9 приведен образец конспекта урока.

III. Закрепление и осмысление нового материала

Решение задач

1. 1. Две прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости. Правильно, что такие плоскости всегда параллельны? Воспользуйтесь моделями.
2. 2. Докажите, что параллельные плоскости пересекаются секущей плоскостью по параллельным прямым.

Доведение

Пусть в плоскость пересекает параллельные плоскости α и β по прямым а и b (рис. 240). Докажем, что а || b.

Предположим, что прямые а и b имеют общую точку, то эта точка - общая для плоскостей α и β. Но этого не может быть, потому что данные плоскости α и β параллельны. Итак, прямые а и b не могут пересекаться, а поскольку они лежат в одной плоскости, то а || b.

1. 3. Постройте изображение прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Укажите:

а) грани, перпендикулярные к ребру АА1; АВ; В1C1;

б) ребра, перпендикулярные грани DCC1D1.

1. 4. Укажите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие - неправильные.
2. 1) Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум различным прямым этой плоскости.
3. 2) Две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны.
4. 5. Как на практике можно проверить вертикальность установленного столба?
5. 6. Как с помощью уровня можно проверить горизонтальность установленной подставки для прибора?
6. 7. Концы отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 10 см и 20 см. Найдите расстояние от плоскости до середины отрезка.
7. 8. Ребро куба равно а. Найдите расстояние от одной из вершин куба до других его вершин.

IV. Домашнее задание

1. 1. Изучить материал о взаимное расположение прямой и плоскости и плоскостей в пространстве.
2. 2. Решить задачи.
3. 1) Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1 см, 2 см, 2 см. Найдите расстояние от одной из вершин прямоугольного параллелепипеда до других его вершин.
4. 2) Докажите, что параллельные плоскости отсекают от параллельных прямых равные отрезки.

V. Подведение итогов урока

Задача класса

Определите, какие из приведенных утверждений являются правильными, а какие-неправильными.

1. 1. Если α || β, то любая прямая плоскости α не имеет общих точек с плоскостью β.
2. 2. Если α || β, то любая прямая плоскости α параллельна каждой прямой плоскости β.
3. 3. Если α || β, то любая прямая плоскости α мимобіжна каждой прямой плоскости β.
4. 4. Если α || β, то для любой прямой а в плоскости α существует прямая b в плоскости β такая, что a || b.
5. 5. Если α || β, то прямая, которая пересекает плоскость α, и пересекает плоскость β.

V. Подведение итогов урока

Вопрос к классу

1. 1. Какая прямая называется параллельной плоскости?
2. 2. Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?
3. 3. Что такое перпендикуляр? наклонная?

Таблица 9