УРОК № 54

Тема. Геометрическая прогрессия

Цель урока: добиться усвоения учащимися: определение геометрической прогрессии, соответствующей терминологии (знаменатель геометрической прогрессии), ее рекуррентной формулы и основных свойств геометрической прогрессии (включая характеристическую свойство).

Выработать умения: воспроизводить содержание изученных понятий, а также использовать их для решения задач, предусматривающих выделение геометрической прогрессии среди других числовых последовательностей, использование рекуррентной формулы геометрической прогрессии, а также использования ее свойств.

Тип урока: усвоение знаний, выработка умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект № 33.

Ход урока

I. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

II. Проверка домашнего задания

Учитель собирает тетради учеников на проверку.

III. Формулировка цели и задач урока.
Мотивация учебной деятельности учащихся

Для осознания учащимися необходимости выделения и дальнейшего изучения свойств геометрической прогрессии, вынесенных в тему урока, можно предложить им выполнить упражнение на сравнение или логическую упражнение на исключение лишнего (например, среди предложенных последовательностей несколько есть такими, которые в дальнейшем могут быть определены как геометрические прогрессии, а одна из них таковой не является; или наоборот, среди нескольких известных учащимся арифметических прогрессий дать одну геометрическую и, выделив ее как «лишний», проанализировать отличие этой последовательности от геометрической прогрессии).

После выполнения таких упражнений учащиеся осознают, что среди бесконечного количества различных по видам числовых последовательностей, кроме выделенных на предыдущих уроках видов, можно выделить другие виды. От них отделяются последовательности, в которых каждый последующий член, в отличие от членов арифметической прогрессии, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. После такого умозаключения формулируется основная дидактическая цель урока: изучить определение, дать ему название и исследовать свойства таких последовательностей и их применение.

IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Устные упражнения

1. Найдите:

1) значение функции, заданной формулой у = 3х5 при х = 0; 1; -1;

2) при каком значении аргумента значение функции у = х2 - 3х + 2 равен 0; 2; -2;

3) при каких значениях аргумента значение функции у = 1-2х положительные; отрицательные.

2. Упростите выражение:

1) ; 2) ; 3) 3n-1 ∙ 3n.

3. Решите уравнение:

1) b2 = 3; 2) x3 = 27; 3) q6 = .

4. Последовательность (хп) задана формулой хn = 81 ∙ 31-n. Найдите:
1) х1, х2, х3;

2) отношения , , .

V. Формирование знаний

План изучения нового материала

1. Определение геометрической прогрессии. Знаменатель геометрической прогрессии.

2. Рекуррентная формула геометрической прогрессии.

3. Свойства геометрической прогрессии:

1) характеристическая свойство;

2) произведения двух членов конечной геометрической прогрессии, ровно от-далених от ее концов.

Опорный конспект № 33

Методический комментарий

Формирование знаний учащихся на данном уроке проводится по той же схеме, что и на уроке, когда изучались определение и основные свойства арифметической прогрессии. Изучение материала урока начинается с формулировки определения геометрической прогрессии (ученики подготовлены к его восприятию на предыдущем этапе урока), в котором следует обратить внимание учащихся на словосочетание «начиная со второго», а также на то, что число, на которое умножают каждый член, начиная со второго, является постоянным для данной геометрической прогрессии, при этом оно может быть каким угодно (положительным или отрицательным, целым или дробным; оно только не может, в отличие от разности арифметической прогрессии, равен 0; это желательно проиллюстрировать множеством примеров). После этого формулируется представление о содержании понятия «знаменатель геометрической прогрессии» и записывается соответствующая формула. Далее традиционно записывается рекуррентная формула геометрической прогрессии, которая напрямую вытекает из определения геометрической прогрессии.

Для решения многих прикладных задач важными являются свойства геометрической прогрессии, в частности характеристическая свойство (хотя программа по математике не дает ее среди обязательных знаний в этой теме). Также не обязательным, однако интересной для применения является свойство членов конечной геометрической прогрессии, равноудаленных от ее крайних членов. Поэтому, если позволяют особенности класса, можно предложить все названные свойства геометрической прогрессии рассмотреть как дополнительный материал (см. опорный конспект № 33).

VI. Формирование умений

Устные упражнения

1. По определению проверьте, является ли геометрической прогрессией последовательность:

а) степеней числа 2 с целыми положительными показателями- 1; 2; 4; 8; 16; ...;

б) кубов натуральных чисел- 1; 8; 27; 64; ... .

2. Укажите первый член и найдите знаменатель геометрической прогрессии:

1) 1; -5; 25; ...;

2) -6; -6; -6; ...;

3) 9; 3; 1; ...;

4) 7; ; ; ...;

5) -3; 3; -3; ... .

3. Найдите второй и третий члены геометрической прогрессии (bn), если:

1) b1 = 3, q = 2;

2) b1 = 5, q = -1.

Письменные упражнения

Для реализации дидактической цели урока следует решить упражнения такого содержания:

1) среди предложенных последовательностей выберите геометрические прогрессии;

2) определить n-й член и знаменатель геометрической прогрессии, заданной перечнем ее первых членов;

3) за рекурентною формуле найти несколько первых членов геометрической прогрессии;

4) упражнения на использование свойств геометрической прогрессии;

5) на повторение: упражнения на решение степенных уравнений.

Методический комментарий

При решении упражнений, кроме закрепления терминологии и формул, выражающих свойства геометрической прогрессии, проводится отработка схем действий в таких стандартных ситуациях: проверить, является ли заданная последовательность геометрической прогрессией (по определению, или по характеристичной свойством, или по теореме, в зависимости от условия); найти знаменатель геометрической прогрессии, если известны два соседних ее члены; найти член, следующий за данным членом геометрической прогрессии.

VII. Итоги урока

Контрольные вопросы

1. Какая последовательность называется геометрической прогрессией? Приведите примеры.

2. Чему равно отношение двух соседних членов геометрической прогрессии, начиная со второго?

3. Как задать геометрическую прогрессию?

VIII. Домашнее задание

1. Изучить определение и свойства геометрической прогрессии, рассмотренные на уроке (см. опорный конспект № 33).

2. Решить упражнения, аналогичные по содержанию и уровню сложности выполненной на уроке.

3. Повторить схему решения задач составлением математической модели.