ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§23. КОМБИНАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ.

5. Многогранник, вписанный в шар.

Многогранник называют вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара.

При этом шар называют описанной вокруг многогранника.

Основные свойства призмы, вписанной в шар, такие (рис. 511):

1) Шар можно описать вокруг прямой призмы, если ее основанием является многоугольник, вокруг которого можно описать окружность.

2) Центр шара является серединой высоты призмы, соединяющей центры окружностей, описанных вокруг многоугольников оснований призмы.

3) Основания призмы вписаны в уровне параллельные сечения шара.

Пример 1. Вокруг правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 5 см, описан шар. Радиус шара равен 13 см. Найти высоту призмы.

Решения. 1) Пусть вокруг правильной треугольной призмы АВСА_ИВ₁С₁ описан шар (рис. 511).

2) QB = R_ABC - радиус круга, описанного вокруг ∆АВС. где а = 5 см - сторона основания правильного треугольника АВС.

Тогда

3) В ∆OQB: ОВ = R = 13 см - радиус шара, OQB = 90°.

Имеем

4) Поскольку точка О - середина высоты призмы QQ₁ то QQ₁ = 2 ∙ 12 = 24 (см).

Основные свойства пирамиды, вписана в шар, следующие (рис. 512).

1) Шар можно описать вокруг пирамиды, если ее основанием является многоугольник, вокруг которого можно описать окружность. Центр шара, описанного вокруг пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основы, проведенном через центр круга, описанного вокруг основания.

2) Центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды, лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды.

3) Центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды, совпадает с центром круга, описанного вокруг равнобедренного треугольника, боковой стороной которого является боковое ребро пирамиды, а высотой - высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этого круга.

Отметим, что центр описанного шара может принадлежать высоте пирамиды, или лежать на ее продолжении (то есть находится или внутри пирамиды, или за ее пределами). Решая задачи способом, предложенным ниже, нет необходимости рассматривать два случая. При выбранном способе развязывания место расположения центра шара (внутри или вне пирамидой) не учитывается.

Пример 2. Докажите, что радиус шара R, описанной вокруг правильной пирамиды можно найти по формуле где Н - высота пирамиды, r - радиус круга, описанного вокруг основы пирамиды.

Решения. 1) Пусть точка О - центр шара, описанного вокруг правильно: пирамиды с высотой QК (рис. 512). По условию QК = Я, КА = r - радиус круга описанного вокруг основы.

2) Продолжим Qк до второго пересечения с пулей в точке Q₁. Тогда QQ₁ = 2R - диаметр круга, а потому QАQ₁ = 90° и QQ₁ - гипотенуза прямоугольного треугольника QАQ₁.

4) По свойству катета прямоугольного треугольника в ∆QАQ₁ получим АQ² = QQ₁ ∙ QК, т.е. АQ² = 2R ∙ Н.

5) Итак, АQ² = Н² + г² и АQ² = 2RН. Отсюда Н² + r² = 2RН; R = (r² + H²)/2H, что и требовалось доказать.