Урок 53

Тема. Угол между скрещивающимися прямыми

Цель урока: формирование понятия угла между скрещивающимися прямыми, а также умений учащихся находить углы между скрещивающимися прямыми.

Оборудование: стереометрический набор, модели куба, тетраэдра, прямоугольного параллелепипеда.

Ход урока

I. Анализ выполнения тематического оценивания № 5

II. Проверка домашнего задания

В конце урока собираются ученические тетради для проверки их ведения и выполнения домашнего задания.

III. Восприятие и осознание нового материала

Понятие угла между прямыми, которые пересекаются

Введем понятие угла между прямыми в пространстве.

Если две прямые пересекаются, они образуют четыре угла (попарно вертикальные или попарно смежные). Угловая мера меньшего из них называется углом между данными прямыми, которые пересекаются. Угол между прямыми, которые пересекаются, не превышает 90°.

Если прямые перпендикулярны, то величина угла между этими прямыми равен 90°.

Угол между параллельными прямыми считают равным 0°. Следует отметить, что угол между прямыми - это не геометрическая фигура, это - величина.

Решение упражнений

1. ABCDA1B1С1D1 - куб. Найдите угол между прямыми:

а) АВ1 и AD1; б) АВ1 и AD; в) АВ1 и АВ; г) АС и AC1.

(Ответ: а) 60° ; б) 90° ; в) 45° ; г) arcsin )

2. Прямые а и b пересекаются под углом 30° , а прямые а и с - под углом 60° . Могут ли быть перпендикулярными прямые b и с? (Ответ. Так)

3. ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед, в котором АВ = а, AD = b, АА1 = с . Найдите угол между прямыми:

а) А1В и АВ; б) A1D и AD; в) BD и АВ; г) ВА1 и DA1.

(Ответ, a) arctg ; б) arctg; в) arctg ; г) arccos )

Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между прямыми, которые пересекаются и параллельные согласно данным мимобіжним прямым.

Угол между скрещивающимися прямыми, как и между прямыми одной плоскости, не может быть больше 90°. Две скрещивающиеся прямые, которые образуют угол в 90°, называются перпендикулярными.

Решение упражнений

1. Покажите перпендикулярные скрещивающиеся прямые в окружении.

2. Дано изображение куба (рис. 275). Найдите угол между скрещивающимися прямыми а и b.

Рис. 275

(Ответ а) 90°; б) 45° ; в) 60°; г) 90°; д) 90°; е) 90°)

3. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что АВ1CD1.

4. Прямая SA перпендикулярна к сторонам АВ и АС треугольника АВС. Найти угол между прямыми SA и ВС. (Ответ. 90°)

5. Точки К и М середины ребер АВ и DC треугольной пирамиды DABC, каждое ребро которой равно а. Докажите, что KMАВ. Найдите длину отрезка KM.

(Ответ. )

6. Найдите угол между скрещивающимися диагональю грани куба и диагональю куба.

Решение

Найдем угол между диагональю ВD1 куба и диагональю DC1 грани куба (рис. 276). Достроим до данного куба куб ADMNA1D1M1N1 (рис. 277), тогда угол между прямыми BD1 и DC1 равен углу между прямыми BD1 и D1M. Пусть АВ = а; тогда D1M = а, AD1 = a , ВМ = а.

Из ΔBD1M имеем:

ВМ2 = DB2 + D1M2 - 2AD1 · D1M cosBD1M, или

5а2 = 2а2 + 3а2 - 2а · a cos BD1M;

5а2 = 5а2 - 2а2 cos BD1M;

2а2 cos BD1M = 0;

cos BD1M = 0;

BD1M = arccos 0 = 90°.

Ответ. 90°.

7. Доказать, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора прямых, которые пересекаются.

IV. Обобщение и систематизация знаний

Учитывая определение угла между скрещивающимися прямыми, можно дать обобщенное определение перпендикулярности прямой и плоскости, признаки перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трех перпендикуляры.

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая пересекает плоскость, перпендикулярна двум прямым этой плоскости пересекаются, то она перпендикулярна к плоскости.

Обобщенная теорема о трех перпендикуляры

Любая прямая на плоскости, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и к наклонной. И наоборот: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Решение задач

1. Задача № 30 из учебника (с. 56).

2. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым этой плоскости пересекаются, то она перпендикулярна к плоскости. Довести.

3. Задача № 33 из учебника (с. 56).

4. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что АС1BD.

5. ABCD - ромб (рис. 278), прямая SO перпендикулярна к плоскости АВС. Докажите, что SCBD.

6. SABC - треугольная пирамида, все ребра которой равны. Докажите, что SAВС.

V. Домашнее задание

§4, п. 31; контрольный вопрос № 14; задача № 32 (с. 56).

VI. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Что называется углом между скрещивающимися прямыми?

2) зависит Ли угол между скрещивающимися прямыми от выбора прямых, которые пересекаются?

3) Сформулировать обобщенное определение перпендикулярности прямой и плоскости.

4) Сформулируйте обобщенную признак перпендикулярности прямой и плоскости.

5) Сформулируйте обобщенную теорему о трех перпендикуляры.