УРОК № 52

Тема. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Цель урока: добиться усвоения учащимися формул суммы первых n членов арифметической прогрессии через первый и n-й члены и через первый член и разность арифметической прогрессии. Выработать умения: записывать изученные формулы в зависимости от условия задач, а также использовать их для решения задач, предусматривающих вычисление суммы первых п членов арифметической прогрессии.

Тип урока: усвоение знаний, выработка умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект № 31, раздаточный материал (карточки с решениями домашней самостоятельной работы).

Ход урока

I. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

II. Проверка домашнего задания

Учитель собирает тетради учеников с выполненной домашней самостоятельной работой. Наиболее сложные задачи рассматриваются. В случае необходимости правильные решения в виде раздаточного материала раздаваемые учащимся для самостоятельной проработки дома.

III. Формулировка цели и задач урока.
Мотивация учебной деятельности учащихся

Для осознания учащимися необходимости изучения вопроса о формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии можно предложить им одну из интересных задач на вычисление такой суммы (например, широко известная задача на вычисление суммы первых 100 натуральных чисел). Во время обсуждения условия задачи учащиеся приходят к осознанию того, что язык математики условие задачи звучит так: «Найти сумму первых 100 членов арифметической прогрессии». Рассмотрев примеры других задач этого вида, формулируется обобщенное условие задачи: «Как найти сумму нескольких первых членов арифметической прогрессии»; после этого формулируется цель: вывести формулу для вычисления суммы первых n членов арифметической прогрессии; выработать умение ее применять при решении задач.

IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся

Устные упражнения

1. Назовите первый член и разность арифметической прогрессии, заданной формулой bn = 115n - 4. Запишите формулу n-го члена этой арифметической прогрессии.

2. Известно, что в скінченній арифметической прогрессии сумма первого и последнего членов равна 10. Чему равна сумма второго и предпоследнего членов?

3. Найдите:

1) значение функции, заданной формулой у = 4х - 3, для всех целых значений переменной х из промежутка (2; 5];

2) значения аргумента, при которых значения функции у = х2 - 5 равна 0; 4; -5.

V. Формирование знаний

План изучения нового материала

1. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии через первый и n-й члены.

2. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии через первый член и разность арифметической прогрессии.

3. Примеры решения задач.

Опорный конспект № 31

Методический комментарий

Изучение материала урока начинается с вывода формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии через первый и n-й члены, для чего используется свойство конечной арифметической прогрессии (о том, что сумма каждой пары членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме крайних членов этой прогрессии) и достаточно простые рассуждения о количество пар чисел, содержащихся в ряде n чисел. Вторая формула для вычисления суммы первых n членов арифметической прогрессии через первый член и разность выводится с применением к выведенной формулы изученной ранее формулы n-го члена арифметической прогрессии. После изучения обеих формул следует подчеркнуть, что выбор формулы для решения конкретной задачи обусловлен данными задачи (примеры решения типовых задач приведены в опорном конспекте № 31).

VI. Формирование умений

Устные упражнения

1. Задана конечная последовательность: (аn): 2; -1; 5; -2; 9; -3; 15; -4. Найдите сумму:

1) первых двух ее членов;

2) первых пяти ее членов;

3) всех ее членов.

1. Найдите сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии (хn), в которой х1 = 5, х30 = 15.

2. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии (n), в которой y1 = 5, d = 3, заполнив пропуски в формуле .

Письменные упражнения

Для реализации дидактической цели урока следует решить упражнения такого содержания:

1) по одной из изученных формул найти (вычислить) сумму первых п членов арифметической прогрессии;

2) решить задачи, предусматривающие прямое применение изученных формул (в условии задач напрямую не сказано, что искомая сумма является суммой арифметической прогрессии), например, найти сумму первых 50 натуральных чисел найти сумму четных натуральных чисел от 0, не более 100, и т. д.;

3) задачи на применение изученных формул для отыскания неизвестных первого члена, или разницы или числа n членов арифметической прогрессии с известным по условию суммой ее первых членов;

4) на повторение: задачи на применение изученных свойств и формул арифметической прогрессии.

Методический комментарий

При решении упражнений закрепляется знание формул и осознание различия ситуаций, в которых оправдано применение одной из изученных формул, а также формируются умения работать с изученными формулами в различных направлениях: как для отыскания значения суммы арифметической прогрессии, так и для отыскания по данной суммой других данных (первого члена арифметической прогрессии, или ее разницы, или количества первых членов, для которых известна их сумма). Кроме этого продолжается работа по закреплению ключевых моментов, над которыми началась работа на предыдущих уроках: как проверить, является ли заданная последовательность арифметической прогрессией (по определению, или по характеристичной свойством, или по теореме, в зависимости от условия); как найти разность арифметической прогрессии (от любого члена, начиная со второго, вычесть предыдущий него член); как найти следующий за данным член арифметической прогрессии (найти разность арифметической прогрессии и добавить ее к данного члена).

VII. Итоги урока

Контрольные вопросы

1. По какой формуле можно вычислить сумму первых ста членов арифметической прогрессии, если известны:

1) а1 и а100; 2) а1 и d; 3) а1 и а2?

2. Или можно по формуле вычислить сумму первых десяти членов последовательности:

1) (аn): 2; 3; 4; 5; 6; ...;

2) (аn): 2; 4; 8; 16; 32; ...;

3) (аn): n; 3n; 5n; 7n; 9n;

VIII. Домашнее задание

1. Изучить формулы (см. опорный конспект № 31).

2. Решить упражнения, аналогичные по содержанию и уровню сложности выполненной на уроке;

3. Повторить: определение числовой последовательности, формулы, изученные в теме «Арифметическая прогрессия» и свойства натурального ряда чисел (в частности, сколько натуральных чисел содержится в натуральном ряду с га по гаг чисел включительно).