ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§19. ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ, ИХ ЭЛЕМЕНТЫ.

3. Сечения цилиндра плоскостями.

Сечение цилиндра плоскостью, которая проходящей через его ось, называется осевым сечением цилиндра (рис. 484). Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна из сторон которого равна диаметру цилиндра, а другая - его высоте. На рисунке 484 прямоугольник АВВ₁А₁ - осевое сечение цилиндра; АВ - диаметр цилиндра; АА₁ - образующая, что равна высоте цилиндра. Если осевым сечением цилиндра является квадрат, его иногда называют равносторонним (или равнобедренным или равносторонним).

Пример 1. Длина окружности основания цилиндра равен 12 π см, а диагональ осевого сечения - 13 см. Найти образующую цилиндра.

Решения. 1) Пусть А₁В - диагональ осевого сечения цилиндра (рис. 484); А₁В = 13 см.

2) Обозначим радиус цилиндра - r. Тогда по условию 2πr = 12π, отсюда 2r = 12 (см). Поэтому АВ = 2r = 12 см.

Пример 2. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания равна 4 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найти площадь осевого сечения цилиндра.

Решения. 1) Пусть O₁С - отрезок, соединяющий центр верхней основы - точку О₁ с С точкой окружности нижнего основания (рис. 485). O₁С = 4 см.

2) ОС - проекция O₁С на плоскость нижнего основания, поэтому O₁CO - угол, образует отрезок O₁с с плоскостью нижнего основания. По условием О₁СО = 45°.

4) АА₁В₁В - осевое сечение, АА₁ = ОО₁ = 4 см; АВ = 2 ∙ АО = 4 ∙ 2 = 8 (см).

5) площадь диагонального сечения S_AA1B1B = АВ ∙ АА₁ = 8 ∙ 4 = 32 (см²).

Сечение цилиндра плоскостью, которая является параллельной плоскости основ - круг, равный круга основания цилиндра (рис. 486). Радиус сечения А₂O₂ равна радиусу цилиндра АО.

Сечением цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра является прямоугольник. На рисунке 487 прямоугольник АА₁В₁В - сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра ОО₁.

Две его стороны: АА₁ и ВВ₁ - образующие цилиндра, а две другие: АВ и А₁В₁ - параллельные и равные хорды основ.

Пример 3. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, которая отсекает от окружности основания дугу 60º. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а высота - 5 см. Найти периметр полученного сечения.

Решения. 1) Пусть АВВ₁А₁ - сечение, что задано в условии (рис. 487), АО = ОВ = 6 см, АА₁ = 5 см, AOB = 60°.

2) Поскольку АО = ОВ, то ∆АОВ - равнобедренный, Поэтому ∆АОВ - равносторонний, АВ = ОА = 6 см.

3) Следовательно, периметр сечения Г_ABB1B1B = 2(АА₁ + АВ) = 2(5 + б) = 22 (см).