Урок № 51

Тема. Теорема Виета

Цель: добиться усвоения учащимися содержания теоремы Виета для сводного квадратного уравнения и для квадратного уравнения общего вида; сформировать умение воспроизводить изученные утверждение, использовать их для решения задач, предусмотренных программой по математике.

Тип урока: усвоение знаний и умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект «Теорема Виета».

Ход урока

И. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Самостоятельная работа № 11 (с коррекцией)

Применение формулы корней квадратного уравнения

III. Формулировка мсти и задач урока

Для создания положительной мотивации учебной деятельности учащихся во время проведения самостоятельной работы предложить учащимся выполнить опережающее задание: решить квадратные уравнения и для каждого из тех, что имеют корни, найти их сумму и произведение. На этапе коррекции (см. выше), проверяя правильность выполнения заданий, следует предложить ученикам не просто сравнить свои ответы с правильными, но и сравнить полученные ответы (суммы и произведения корней) с коэффициентами квадратных уравнений. Если ученики заметят определенные закономерности сами, учителю достаточно сформулировать проблему: необходимо исследовать существование общих свойств корней любого квадратного уравнения и выразить эти свойства в виде формул, сформировать умение применять эти свойства при решении типовых задач.

IV. Актуализация опорных знаний и умений

@ Для успешного восприятия учебного материала урока следует активизировать знания и умения учащихся: определение квадратного уравнения, неполных квадратных уравнений и построенных квадратных уравнений, определение коэффициентов квадратного уравнения, формул для решения квадратных уравнений (дискриминанта и корней), выполнение арифметических действий с действительными числами.

Выполнение устных упражнений

1. Решите уравнения: а) х2 - 25 = 0; б) а2 - 5а = 0; в) у2 + 9 = 0; г) n2 - 19 = 0; д) 5х2 = 0,2.

2. Назовите первый, второй коэффициенты и свободный член квадратного уравнения: а) а2 + 4а - 1 = 0; б) у2 - 3 = 0; в) 2b2 - 5b = 0; г) 3 - 2х2 - х = 0; д) 3с2 = 0.

3. Найдите значения выражений: ; ; ; ; ; .

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Теорема Виета для сводного квадратного уравнения: формулировка и доказательство.

2. Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида: формулировки и доказательства:

1) теорема, обратная теореме Виета.

2) примеры применения изученных теорем.

@ Формулировка и доказательство теоремы Виета для сводного квадратного уравнения учащиеся обычно воспринимают достаточно легко. Единственное, в чем часто ошибаются, - это запись значения суммы корней квадратного уравнения: вместо числа, противоположного второму коэффициенту, ученики часто указывают второй коэффициент. Чтобы предупредить эти ошибки, достаточно решить устные упражнения.

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида приходится довольно легко через теорему Виета для сводного квадратного уравнения.

· Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, обычно не является обязательным для всех учащихся: его предлагают для самостоятельной работы учащимся, имеющим высокий уровень знаний и умений.

Последний пункт плана показывает практическую значимость изученных теорем: на этом этапе изучения материала следует продемонстрировать учащимся применение теоремы Виета и обратной к ней теоремы для отыскания корней сводного квадратного уравнения с целыми коэффициентами без вычисления дискриминанта (подбором). Комментируя действия, сопровождающие поиск корней сводного квадратного уравнения с целыми коэффициентами с использованием изученных теорем, следует показать учащимся последовательность рассуждений, которая поможет найти корни «методом подбора»: сначала записать, чему равна сумма и произведение корней, затем определить, какие знаки корней (по знаку произведения). Если они одинаковые, то модуль суммы корней равен сумме модулей корней, если они разные, - модуль суммы корней равен разности модулей корней; в конце раскладываем модуль свободного члена на множители, удовлетворяющие предварительное условие.

VI. Формирование умений

Выполнение устных упражнений

1. Составьте сведено квадратное уравнение, в котором сумма и произведение q его корней равны:

а) р = - 5; q = 4; б) г = 15; q = -6; в) р = - 5; q = 0; г) p = 0; q = -2.

2. Один из корней квадратного уравнения х2 + 4х - 21 = 0 равен - 7. Найдите второй корень.

(Решить задачу разными способами.)

Выполнение письменных упражнений

Для реализации дидактической цели урока следует решить задачи следующего содержания:

1. Являются ли данные числа корнями квадратного уравнения с заданными коэффициентами.

Являются ли данные числа корнями уравнения?

а) х2 - 2,5 х + 1 = 0, числа 2 и 0,5; б) х2 + 20х - 125 = 0, числа -5 и 25.

2. Нахождение корней квадратного уравнения и выполнение проверки по теореме, обратной теореме Виета.

1) Найдите по формуле корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

а) х2 - 13х + 40 = 0;

б) х2 + 6х + 5 = 0.

2) Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

а) х2 - 2х - 9 = 0;

б) 3х2 - 4х - 4 = 0;

в) 2х2 + 7х - 6 = 0;

г) 2х2 + 9х + 8 = 0.

3. Нахождение суммы и произведения корней квадратного уравнения.

1) Каждое из уравнений имеет корни. Найдите сумму и произведение этих корней:

а) 3х2 - 4х + 1 = 0;

б) 10х2 + х - 3 = 0.

2) Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) х2 - 37х + 27 = 0;

б) у2 + 41у - 371 = 0;

в) х2 - 210х = 0;

г) у2 - 19 = 0;

д) 2х2 - 9х - 10 = 0;

есть) 5х2 + 12х + 7 = 0;

же) -z2 + z = 0;

с) 3х2 - 10 = 0.

4. Нахождение корней квадратного уравнения с использованием теоремы, обратной теореме Виета.

1) Найдите корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета:

а) х2 - 3х + 2 = 0;

б) х2 - 5х + 6 = 0;

в) х2 + 7х + 12 = 0;

г) х2 + 3х + 2 = 0;

д) х2 - 5х + 4 = 0;

есть) х2 - 8х - 9 = 0;

ж) х2 + 4х + 3 = 0;

с) х2 - 2х - 3 = 0;

ы) х2 + 2х - 15 = 0.

2) Найдите подбором корни уравнения:

а) х2 - 9х + 20 = 0;

б) х2 + 11х - 12 = 0;

в) х2 + х - 56 = 0;

г) х2 - 19х + 88 = 0.

5. Нахождение неизвестного корня и неизвестного коэффициента квадратного уравнения, если известен второй корень и два коэффициенты квадратного уравнения.

1) Найдите свободный член q сводного квадратного уравнения х2 + px + q = 0, если его корнями являются числа: 5; - 3; -2; -6.

2) В уравнении х2 + рх - 35 = 0 один из корней уравнения равен 7. Найдите второй корень и коэффициент р.

6. Логические упражнения и задачи повышенного уровня сложности для учащихся, имеющих достаточный и высокий уровни знаний.

1) Докажите, что уравнения 7х2 + bх - 23 = 0 при любых значениях b имеет один положительный и один отрицательный корни.

2) Найдите пропущенное число:

VII. Итоги урока

В любом из случаев правильно выполнено действие?

1) Сумма корней уравнения 5х2 - 9х - 2 = 0 равна: а) -9; б) 1,8; г) -1,8; д) ;

2) произведение корней уравнения 5х2 + 3x - 2 = 0 равна: а) -2; б) 2; в) 0,4; г) другой ответ.

VIII. Домашнее задание

1. Изучить содержание и схемы доказательства теоремы Виета и обратной теоремы.

2. Решить упражнения на применение изученных теорем.

3. На повторение: решить квадратные уравнения по формуле.