ГЕОМЕТРИЯ
Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ
§17. ПИРАМИДА.
5. Объем пирамиды.
Объем пирамиды V равна трети
произведению площади ее основания на высоту:
где Sосн
- площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.
Пример 1. Сторона основания правильной
треугольной пирамиды равна 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол
45°. Найдите объем пирамиды.
Решения. 1) (илл. 472). Пусть QАВС - заданная в условии пирамида; ∆АВС - правильный; ВС = 6 см; QК - высота пирамиды; 
QВК
= 45°.
2) Площадь основания 
где а
= ВС = 6 см - сторона основания. Имеем
3) Поскольку К - центр треугольника, то
КВ = R - радиус круга, описанного вокруг основания: 
Поэтому ∆QКВ - равнобедренный и QК = К
В = 2
(см).
5) Объем пирамиды 
Пример 2. В основе пирамиды лежит
квадрат. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие
наклонены к ней под углом 30º. Найти объем пирамиды, если
среднее по величине боковое ребро пирамиды равно 4 см.
Решения. 1) Пусть QАВСD - заданная в условии пирамида; АВСD - квадрат; боковые грани QАD и QАВ перпендикулярны плоскости основания (рис. 473).
2) Поскольку боковые грани QАD и QАВ перпендикулярны плоскости основания,
то боковое ребро по которому пересекаются эти грани, также перпендикулярное к
основы. Поэтому QА = h - высота пирамиды.
3) АD 
DС, поэтому по теореме о трех
перпендикуляры QD DС. А следовательно QАD DС. Поэтому QDA - угол, который образует боковая грань QDс с плоскостью основания. QDA
= 30° (по условию).
4) Поскольку ∆QАD - прямоугольный (A
= 90°), то QD > QА. ∆QDC - прямоугольный (QDC
= 90°), поэтому QD QС. Учитывая также QD = QВ (из равенства треугольников QAD и QАВ) получим, что именно QD - среднее по величине боковое ребро.
По условию QD = 4 см.
5) В ∆QАО: QА = 4/2 = 2 (см), используя свойство катета, лежащего против угла 30°.
6) Площадь основания 
7) Объем пирамиды 
Пример 3. Основанием пирамиды является
треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см. Все боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом 60º. Найти объем пирамиды.
Решения. 1) Пусть QАВС - заданная в условии пирамида, АВ =
4 см, АС = 5 см, ВС = 6 см (рис.
474).
2) За
известным свойством: точка К
- основание высоты QК является центром круга, описанного вокруг ∆АВС. АК = R - радиус описанного круга.
3) QАК = 60° (по условию).
5) Поскольку 
где S - площадь
треугольника, то имеем 
