ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§16. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.

1. Определение параллелепипеда, его свойства.

Собой параллелепипед называют призму, основой которой является параллелограмм.

У параллелепипеда все грани - параллелограммы.

Поскольку параллелепипед является призмой, то все свойства призмы справедливы и для параллелепипеда.

Параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны к плоскости основания, называют прямым собой параллелепипед. Его боковые грани - прямоугольники. На рисунке 459 изображен прямой параллелепипед.

Если же боковые ребра параллелепипеда не перпендикулярны к плоскости основания, то параллелепипед называют наклонным. На рисунке 460 изображен наклонный параллелепипед.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противоположными гранями. На рисунке 460 противоположными гранями являются грани АВСD и А₁В₁C₁D₁, АВВ₁А₁ и СDD₁С₁, АА₁D₁D и ВВ₁С₁С.

Рассмотрим свойства параллелепипеда.

1) Противоположные грани параллелепипеда параллельные и равные.

2) Диагонали параллелепипеда пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Пример 1. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 10 см и 17 см, а одна из диагоналей основания 21 см. Большая диагональ параллелепипеда равна 29 см. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Решения. 1) Пусть а = 10 см и b = 17 см - стороны основания; d₁ = 21 см - диагональ основания. По свойством диагоналей параллелепипеда: отсюда

Поскольку 21, то большей диагональю параллелепипеда является проекцией которой на плоскость основания является диагональ основания с длиной 21 см.

2) (илл. 459) АС = 21 см; А₁С = 29 см.

3) Поскольку прямой параллелепипед является видом прямой призмы, то площадь боковой поверхности S_бич прямого параллелепипеда можно найти по формуле S_бич = Рl, где Р - периметр основания, l - длина бокового ребра.

Г= 2(10 + 17) = 54 (см). S_бич = 54 ∙ 20 = 1080 (см²).

Пример 2. Основой прямого параллелепипеда является ромб со стороной 4 см и острым углом 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали ромба. Найти объем параллелепипеда.

Решения. 1) Пусть АВСDА₁В₁С₁D₁ - заданный в условии параллелепипед; АВСD - ромб; АС = 4 см; BAD = 60° (рис. 461).

2) Площадь основания

3) ∆АВБ - равносторонний; BD = АВ = 4 см.

4) В ∆АВС: АВС = 90° , по теореме косинусов:

5) ПосколькуD АС, то В₁D - меньшая диагональ параллелепипеда.

7) Тогда объем