ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§15. ПРИЗМА.

4. Объем призмы.

Объем призмы V равен произведению ее основания на высоту:

где S_осн - площадь основание призмы; h - высота призмы.

Пример 1. Основанием наклонной призмы является правильный треугольник со стороной 6 см. Боковое ребро призмы равна 4 см и наклонено к плоскости основания под углом 60º. Найти объем призмы.

Решения. 1) Пусть АВСА₁В₁С₁ - заданная в условии призма; ∆АВС - правильный; АВ = 6 см; АА₁ = 4 см; ₁К - высота призмы; A₁AK - угол наклона бокового ребра к плоскости основания;

A₁AK = 60° (рис. 457).

2) Площадь основания где а = АВ - сторона основания.

Имеем

Пример 2. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см; 13 см и 15 см. Через боковое ребро призмы и большую по длине высоту основания проведено сечение, площадь которого равна 60 см². Найти объем призмы.

Решения. 1) Пусть АВСА₁B₁С₁ - задана в условии призма (рис. 458); АС = 4 см; АВ = 13 см; АВ = 15 см.

2) Поскольку АС - меньшая сторона основы, то большей высотой является высота ВК, проведенная к этой стороне.

3) По формуле Герона найдем площадь основания призмы - треугольник АВС.

4) 3 другой стороны S_осн = (AC ∙ BK)/2; маявляетсямо ВК = (2 ∙ 24).4 = 12 (см).

5) Проведем сечение через КВ и BB₁. За условием S_KK1B1B = 60 (см²). С другой стороны S_KK1B1B = ВК ∙ ВВ₁. Имеем ВВ₁ = 60/12 = 5 (см).

6) Тогда объем призмы V = S_och ∙ BB₁ = 24 ∙ 5 = 120 (см³).

Если в наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам, пересекает все боковые ребра (сечение KLM на рисунке 456). Тогда объем призмы V можно найти по формуле:

где S_пер - площадь сечения; l - длина бокового ребра.

Пример 3. Две боковые грани треугольной призмы имеют площади 30 см² и 40 см² и образуют угол 60°. Найти объем призмы, если ее боковое ребро равно 5 см.

Решения. 1) Пусть АВСА₁В₁С₁ - заданная в условии призма (рис. 456); S_AA1B1B = 30 см²; S_BB1C1C = 40 см²; ВВ₁ = 5 см.

2) Выполнив построения, аналогичные построениям примера 2 п. Из этого параграфа. Получим: