Урок № 50

Тема. Отношение площадей подобных треугольников

Цель: добиться усвоения учащимися содержания и идеи доказательства теоремы об отношении площадей подобных треугольников. Сформировать умение воспроизводить содержание теоремы и применять ее при решении задач.

Тип урока: усвоение умений и навыков.

Наглядность и оборудование: конспект «Отношение площадей подобных треугольников».

Ход урока

И. Организационный этап

II. Проверка домашнего задания

Учитель собирает тетради учеников с выполненной домашней самостоятельной работой (см. выше). Ученикам объявляется правильное решение за рисунками, изображенными на доске заранее.

Контрольные моменты обсуждаются.

III. Формулировка цели и задач урока

Учитель предлагает учащимся ответить на вопросы, содержание которых натолкнет учащихся на размышления по теме урока.

1. В паралелограмі проведена диагональ. На какие фигуры эта диагональ делит данный параллелограмм? Что можно сказать о площади образованных фигур? Почему?

2. В паралелограмі проведены две диагонали. На какие фигуры эти диагонали делят данный параллелограмм? Что можно сказать о площади образованных фигур? Почему?

3. В трапеции проведены диагонали. На какие фигуры эти диагонали делят данную трапецию? Что можно сказать о площади образованных фигур? Почему?

Во время поиска ответов на последний вопрос (см. рис. 1) ученики должны осознать, что, в отличие от диагоналей параллелограмма, диагонали трапеции не делят ЕЕ на треугольники, среди которых есть пары равных. Среди четырех полученных треугольников есть два равновеликих (треугольники 1 и 3), а также два подобных (2 и 4).

Итак, формулируется вопрос: «Что мы знаем о площади подобных треугольников?» Логично предположить, что ответ на этот вопрос (то есть установление зависимости между площадями подобных фигур и выражения ее в числовой форме, а также формирование умений применения этой зависимости при решении задач), и будет главной целью урока.

IV. Актуализация опорных знаний

С целью формирования сознательного понимания учащимися содержания и доказательство теоремы об отношении площадей подобных треугольников учащиеся должны повторить содержание изученных ранее понятий.

Выполнение устных упражнений

1. Какие два треугольника называются подобными?

2. Что означает запись: ΔABC подобен ΔMNK ?

3. Что называют коэффициентом подобия треугольников?

4. Пусть в подобных треугольниках ΔАВС и ΔMNK . Для каких еще элементов этих треугольников будет выполняться такое же отношение?

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Теорема (об отношении площадей подобных треугольников): формулировка и доказательство.

2. Примеры применения теоремы (об отношении площадей подобных треугольников).

@Традиционно в завершение изучения темы «Площади» в 9 классе изучалась теорема об отношении площадей подобных многоугольников, доведение которой состояло из двух частей: 1) доказательство утверждения теоремы для треугольников; 2) доказательство утверждения теоремы для простых многоугольников через доказанное утверждение для треугольников. По новой программе в 8 классе изучается только теорема об отношении площадей подобных треугольников (то есть особый случай теоремы о площади подобных многоугольников). Это обусловлено тем, что понятие подобия многоугольников не изучалось.

Доказательство теоремы почти полностью соответствует традиционному доказательству свойства площадей подобных треугольников и опирается на свойство сторон подобных треугольников, признаки подобия прямоугольных треугольников и применение формулы площади треугольника (доказательство можно провести проще, если использовать свойства отношений соответствующих линейных элементов подобных треугольников, сформулированы и доказаны в теме «Подобие треугольников»). После выполнения работы с повторения содержания этих понятий (см. устные упражнения) доказательство теоремы должно быть понятно всем ученикам.

Как пример применения теоремы об отношении площадей подобных треугольников можно рассмотреть с учениками опорный факт, который является обобщением задачи, а именно: площадь треугольника, который отсекается от данного его средней линией, равна четверти площади данного Треугольника. Понимание утверждения теоремы и следствия происходит при решении устных упражнений и задач по готовым рисункам.

VI. Формирование первичных умений

Выполнение устных упражнений

1. Определите, как изменится площадь треугольника, если каждую его сторону:

а) увеличить в 4 раза;

б) уменьшить в 3 раза;

в) уменьшить в п раз.

2. Определите, как нужно изменить каждую сторону треугольника, чтобы его площадь:

а) уменьшилась в 25 раз;

б) увеличилась в 49 раз;

в) увеличилась в п2 раз.

3. Отношение площадей двух треугольников равна 4. Означает ли это, что данные треугольники подобны с коэффициентом 2?

4. У одного из двух правильных треугольников высота вдвое меньше, чем у второго. Во сколько раз площадь второго треугольника больше площади первого? Во сколько раз периметр второго треугольника больше, чем периметр первой?

5. Высота одного правильного треугольника равна стороне второго. Какое отношение площадей этих треугольников?

6. Площади двух подобных треугольников относятся как 1 : 16. Как относятся: а) высоты; б) периметры; в) соответствующие углы этих треугольников?

7. Площадь ΔАВС равна 48 см2. Через середину высоты BD проведена прямая MN, параллельная АС. Чему равна площадь треугольника MBN (М АВ, N BC)?

Выполнение письменных упражнений

1. Известно, что ΔАВС ~ ΔА1В1С1, причем . Найдите:

a) SAВC, если см2;

б) , если SAВC = 9 см2.

2. Известно, что ΔABC ~ Δ А1В1С1. Найдите:

а) сторону А1В1, если SAВC = 24 см2, = 6 см2, АВ = 8 см;

б) площадь треугольника АВС, если ВС = 2 см, В1С1 = 6 см =18 см2.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите площадь треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.

4. Два треугольника подобны с коэффициентом 3, причем площадь одного из них на 24 см2 больше площади другого. Найдите площади этих треугольников.

5. Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Периметр первого треугольника равен 54 м. Найдите периметр второго треугольника.

6. На плане земельный участок имеет форму треугольника с площадью 2,5 см2. Найдите площадь участка, если масштаб плана 1 : 1 000.

@ Решения запланированных задач способствует закреплению у учащихся формулировки теорем и понимание, что из доказанного в учебнике утверждения вытекают два различных варианта его применения:

· Если треугольники подобны с коэффициентом подобия k (отношением соответствующих сторон, высот, медиан, периметров, т.е. отношением соответствующих линейных элементов), то отношение их площадей равна k2.

· Если треугольники подобны и отношение площадей равна k2, то коэффициент подобия (отношение соответствующих сторон, высот, медиан, периметров, то есть отношение соответствующих линейных элементов) равна k.

VII. Итоги урока

Соответствующие стороны двух подобных треугольников равны а и b . Заполните пропуски так, чтобы равенства стали верными (рис. 2).

; ; ; ; ;

(l, m, h - соответствующие биссектрисы, медианы и высоты треугольников).

VIII. Домашнее задание

Изучить содержание и доказательство теоремы об отношении площадей подобных треугольников.

Решить задачи.

1. Стороны равносторонних треугольников равны 2 см и 6 см. Найдите отношение их площадей.

2. Найдите площадь треугольника, если треугольник, образованный средними линиями данного треугольника, имеет площадь 5 см2.

3. Соответствующие стороны двух подобных треугольников относятся как 2 : 3. Площадь второго треугольника равна 81 см2. Найдите площадь первого треугольника.

Решить задачи на повторение.

1. Стороны прямоугольника относятся как 5 : 12. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ равна 26 см.

2. На диагонали квадрата как на стороне построен другой квадрат. Докажите, что его площадь вдвое больше площади данного квадрата.

3. Высоты параллелограмма равны 12 см и 16 см, а угол между ними 30°. Найдите площадь параллелограмма.