Урок 50
Тема. Преобразование подобия и его свойства
Цель урока: формирование знаний учащихся о сходстве пространственных фигур, изучение свойств преобразования подобия и применение их к решению задач.
Оборудование: модели куба и тетраэдра.
Ход урока
И. Проверка домашнего задания
1. Коллективное обсуждение контрольных вопросов № 9-11 и решения задач № 23-25 (1).
2. Математический диктант.
При параллельном переносе точка А переходит в точку В: вариант 1 - А (6; 7; 8), В (8; 2; 6); вариант 2 - A(2; 1; 3), В(1; 0; 7). Запишите:
1) формулы параллельного переноса;
2) координаты точки С, которая образовалась в результате параллельного переноса точки О (0; 0; 0);
3) координаты точки D, которая образовалась в результате параллельного переноса точки С;
4) координаты точки F, в которую перешла точка M (1; 1; 1) в результате параллельного переноса;
5) формулы параллельного переноса, при котором точка В перейдет в точку А.
Ответ. Вариант 1. 1) х1 = х + 2, у1 = у - 5, z1 = z - 2; 2) С(2; -5; -2); 3) D(4; -10; -4); 4) F(-1; 6; 3); 5) x1 = х - 2, у1 = у + 5, z1 = z + 2.
Вариант 2.1) x1 = х - 1, y1 = y -1, z1 = z + 4 ; 2) C(-1; -1; 4); 3) D(-2; -2, -8); 4) F(2; 2; -3); 5) x1 = x + 1, y1 = y + 1, z1 = z - 4.
II. Восприятие и осознание нового материала
Преобразование подобия в пространстве
Преобразование фигуры F в фигуру F1 называется преобразованием подобия, если произвольные точки X и Y фигуры F переходят в точки X1 и Y1 фигуры F1 такие, что Х1Y1 = k XY.
Преобразование подобия в пространстве, как и на плоскости, переводящее прямые в прямые, півпрямі в півпрямі, отрезки в отрезки и сохраняет углы между півпрямими.
Две фигуры в пространстве называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия.
Простейшим преобразованием подобия в пространстве является гомотетія.
Гомотетія относительно центра О с коэффициентом k - это преобразование, которое переводит произвольную точку Х в точку X1 луча ОХ, такую, что ОХ1 = k OX. (рис. 270).
Далее формулируется теорема:
Преобразования гомотетії в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетії, в параллельную плоскость (или в себя, когда k = 1).
Доказательство проводится так, как это сделано в учебнике.
Решение задач
1. Что представляет собой фигура, подобная куба с коэффициентом подобия: а) k = 2; б) k = 
; в) k = 1?
2. Постройте фигуру, гомотетичну данном тетраедру ABCD относительно точки S (рис. 271) с коэффициентом гомотетії: а) k = 2; б) k = ; в) k = 1.
3. В какую фигуру переходит плоскость при гомотетії, если эта плоскость проходит через центр гомотетії?
4. Постройте фигуру, в которую перейдет куб при гомотетії относительно точки S (рис. 272) с коэффициентом гомотетії.
5. Треугольник АВС гомотетичний треугольник А1В1С1 относительно начала координат с коэффициентом гомотетії k = 2. Найдите координаты вершин треугольника А1В1С1, если А (1; 0; 0), В (0; 3; 0), С (0; 0; - 3).
6. Задача № 29 из учебника (с. 56).
III. Домашнее задание
§4, п. 30; контрольные вопросы № 12-13; задача № 28 (с. 56).
IV. Подведение итога урока
Вопрос к классу
1) Что такое преобразование подобия? Перечислите его свойства.
2) Какое преобразование называется гомотетією с центром О и коэффициентом А?
3) В треугольной пирамиде SABC проведено сечение MNK так, что SM = 2MA, SK = 2KC, SN = 2NB (рис. 273). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:
а) при гомотетії с центром S и коэффициентом 
точка М переходит в точку А;
б) при гомотетії с центром S и коэффициентом 
плоскость АВС переходит в плоскость MNK;
в) AB = MN;
г) при гомотетії с центром S и коэффициентом - пирамида SABC переходит в пирамиду SMNK.
4) В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение BDC1 и MNK, где точки М, N, К - середины ребер СС1, ВС, DC (рис. 234). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:
а) при гомотетії с центром С и коэффициентом 0,5 точка М переходит в точку C1;
б) при гомотетії с центром С и коэффициентом 2 плоскость MNK переходит в плоскость BDC1;
в) BD = 2NK;
г) площадь сечения BDC1 в 4 раза больше площади сечения MNK.
