Урок 49

Тема. Параллельный перенос в пространстве

Цель урока: формирование знаний учащихся о параллельном переносе в пространстве; изучение его свойств и применение их к решению задач.

Оборудование: схемы «Расстояние между двумя точками» (см. урок 46) и "Координаты середины отрезка» (см. урок 47), модели куба и прямоугольного параллелепипеда.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Проверить правильность решения задачи № 19 за готовыми записями на доске.

Решение задачи № 19

Пусть А(хА; уА; zА), В(xB; yB; zB) - данные точки, а точка С(хC; yC; zC) - центр симметрии.

Найдем длину отрезка АВ: .

Точки A1 и В1 - симметричные точкам А и В относительно точки С, тогда

А1 (2xC - xA; 2уC - yA; 2zC - zA),

B1 (2xC - xB; 2уC - yB; 2zC - zB).

Найдем длину отрезка А1B1: .

Следовательно, преобразование симметрии относительно точки является движением.

2. Самостоятельная работа.

Вариант 1

1) Концы отрезка А(3; 1; 8) и В (5; 7; 2). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно плоскости xz. (6 баллов)

2) Точки А (4; 2; 10), B(10; -2; 8), С(-2; 0; 6) - вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины D. (6 баллов)

Вариант 2

1) Концы отрезка А (5; -2; 1) и В (5; 4; 5). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно начала координат. (6 баллов)

2) Точки В (2; 1; 3), C(1; 1; 4), D(0; 1; 3) - вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины А. (6 баллов)

Вариант 3

1) Концы отрезка А (7; -3; 4) и B(-1; -1; 2). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно оси X. (6 баллов)

2) Точки A(2; 1; 3), C(2; 1; 5), D (0; 1; 1) - вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины В. (6 баллов)

Вариант 4

1) Концы отрезка А(2; 1; 3) и В(6; 1; 5). Найдите точку, симметричную середине отрезка относительно плоскости ху. (6 баллов)

2) Точки А (4; 2; -1), В (-4; 2; 1) и D(7; -3; 4) - вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины С. (6 баллов)

Ответ. Вариант 1. 1) (4;-4;5); 2) D(-8;4;8). Вариант 2. 1) (-5;-1;-3); 2) A(1;1;2). Вариант 3. 1) (3;2;-3); 2) B(4;1;7). Вариант 4. 1) (4;1;- 4); 2) С(-1;-3;6).

II. Восприятие и осознание нового материала

Параллельный перенос в пространстве

Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х; у; z) фигуры переходит в точку (х+ а; у + b; z + c), где числа а, b, с - одни и те же для всех точек. Параллельный перенос в пространстве задают формулами: выражающие координаты х1, у1, z1 точки, в которую переходит точка (х; у; z) при параллельном переносе.

Решение задач

1. Параллельный перенос задается формулами: х1 = х +3, y1 = у - 3, z1 = z + 1. В какую точку при этом параллельном переносе переходит точка А(1;2;3) ?

2. Параллельный перенос задается формулами: х1 = x + 1, у1 = у + 2, z1 = z +3. Точка А при этом переносе переходит в точку В (2; 3; 1). Найдите координаты точки А.

3. Точка А (1; 2; 3) при параллельном переносе переходит в точку В (3;2,1). Запишите формулы этого параллельного переноса.

4. Существует ли параллельный перенос, при котором точка А (1; 3; 2) переходит в точку В (0; 2; 4), а точка D (2; 2; 2) переходит в точку C (1; 1; 4)?

Свойства параллельного переноса

1. Параллельный перенос есть движение.

2. При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

3. При параллельном переносе плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

4. Каковы бы ни были две точки А и А', существует единственный параллельный перенос, в результате которого точка А переходит в точку А'. Учащиеся самостоятельно знакомятся с доведением свойства 3 по учебнику.

Решение задач

1. Постройте фигуру, в которую переходит куб при параллельном переносе, при котором точка А переходит в точку В (рис. 269).

2. Задача № 26 из учебника (с. 56).

3. Задача № 27 из учебника (с. 56).

III. Домашнее задание

§4, п. 29; контрольные вопросы № 9-11; задачи№ 23, 24, 25 (1) (с. 56).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Дайте определение параллельного переноса.

2) Перечислите основные свойства параллельного переноса.

3) При параллельном переносе точка А (1;-1; 0) переходит в точку B(3;-1;2). Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) данное параллельный перенос задается формулами x1 = x + 2 , y1 = в, z1 = z + 2;

б) начало координат при данном параллельном переносе переходит в точку (-2; 0; - 2);

в) точка В при данном параллельном переносе переходит в точку (5; -1; 4);

г) параллельные перенос, при котором точка В переходит в точку А, задается формулами x1 = x + 2 , y1 = y + 2 , z1 = z + 3.