ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§15. ПРИЗМА.

1. Определение призмы. Элементы призмы. Виды призм.

Призмой называют многогранник, у которого две грани (которые называются основами), равны и их соответственные стороны параллельны, а остальные грани - параллелограммы, у каждого из которых две стороны являются соответственными сторонами оснований.

На рисунке 448 изображен призму, основы АВСD и А₁B₁C₁D₁. Поэтому призму называют призмой АВСDА₁B₁C₁D₁. По признаку параллельности плоскостей имеем свойство призмы:

основания призмы параллельны.

Грани призмы, которые не являются гранями основ называют боковыми гранями призмы, а стороны боковых граней, которые принадлежат основам - боковыми ребрами призмы. На рисунке 448 параллелограммы АА₁D₁D, АВВ₁А₁, ВВ₁С₁С и СС₁D₁D - боковые грани призмы; отрезки АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ - боковые ребра призмы.

Понятно, что: все боковые ребра призмы равны и параллельны.

Призму называют n-угольной, если ее основанием является n-угольник.

На рисунке 448 изображен четырехугольную призму.

Перпендикуляр, проведенный из некоторой точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

На рисунке 448: А₁К - высота призмы.

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.

На рисунке 448: А₁С - диагональ призмы.

Призму называют прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям, в противном случае призму называют наклонной.

На рисунке 448 изображен наклонную четырехугольную призму, а на рисунке 449 - прямую треугольную призму.

Понятно, что боковые грани прямой призмы - прямоугольники, а высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямую призму называют правильной, если ее основанием является правильный многоугольник.

На рисунке 450 изображен правильный четырехугольную призму, ее основа - квадрат АВСD. В правильной призме все боковые грани - равные прямоугольники.

Пример 1. Высота наклонной призмы равна 4 см. Найти боковое ребро призмы, если оно образует с плоскостью основания угол 60º.

Решения. 1) Поскольку многоугольник, лежащий в основании призмы не имеет значения, используем рисунок 448. По условию А₁К = 4 см; где А₁К - высота призмы.

2) АК - проекция АА₁ на плоскость основания. Поэтому A₁AK - угол, который образует боковое ребро с плоскостью основания. По условию А₁АК = 60°.

Пример 2. В основе прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой 20 см и катетом 16 см. Найти длину диагонали грани призмы, содержит меньший катет треугольника, если высота призмы равна 5 см.

Решения. 1) Пусть АВСА₁В₁С₁ - треугольная призма, заданная в условии; C = 90°, АВ = 20 см; ВС = 16 см; СС₁ = 5 см.

2) В ∆АВС:

3) Следовательно АС ВС, а потому необходимо найти диагональ боковой грани, содержащей АС, т.е. длину отрезка АС₁.

4) В ∆АСС₁: