ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§12. УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.

3. Угол между плоскостями.

Если две плоскости параллельны, то, естественно считать, что угол между ними равен 0°. Если две плоскости пересекаются, то оно образуют четыре двугранные углы с общим ребром (рис. 440).

Величину меньшего из образованных при пересечении двух плоскостей двугранного угла называют угол между плоскостями.

Понятно, что угол между плоскостями φ удовлетворяет условию 0° ≤ φ ≤ 90°. Если φ = 90°, то плоскости называют перпендикулярными.

Если вспомнить каким образом дается определение линейного угла двугранного угла, то можно дать другое определение угла между плоскостями.

Углом между плоскостями, пересекаются, называют угол между прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к линии их пересечения.

На рисунке 441 плоскости α и β пересекаются по прямой m. В плоскости α проведена прямая а а m, а в плоскости β прямую b такую, что b m; прямые а и b пересекаются. Если угол между прямыми а и b равен φ, то угол между плоскостями α и β также равен φ.

Пример. Квадрат ABCD, площадь которого равна 9 см², и прямоугольник ABC₁D₁, площадь которого равна 24 см², имеющих общую сторону, а угол между их плоскостями равен 60°. Найти расстояние между точками D и D₁. Сколько решений имеет задача?

Решения. Поскольку AD АВ и AD₁ АВ₁, то угол между плоскостями можно взять меньший из углов, образованных при пересечении прямых AD и AD₁ (рис. 442). Меньший из этих углов по условию равен 60°. Поэтому угол DAD₁ может равняться 60° или 120°.

Отсюда вывод: задача может иметь два решения.

4) Если DАD₁ = 60°, то в ∆АDD₁ по теореме косинусов:

Если DАD₁ = 120°, то

Следовательно, расстояние между точками D и D₁ равна 7 см или см.