ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§12. УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ.

1. Угол между прямыми.

Как и на плоскости, в пространстве

Углом между прямыми, которые пересекаются, называют меньший из углов образовавшийся при пересечении этих прямых.

Если прямые параллельны, то естественно считать, что угол между этими прямыми равен нулю.

Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между прямыми, которые пересекаются и параллельны данным мимобіжним прямым.

Пусть а₁ и b₁ - прямые, которые пересекаются в точке С и параллельные мимобіжним прямым а и b, а угол между прямыми а₁ и b₁ равен φ (рис. 437). Тогда угол между прямыми а и b также равен φ. Можно доказать, что угол между скрещивающимися прямыми а и b не зависит от выбора точки С. В задачах точку С удобно брать на одной из прямых, например на прямой а, и проводить через эту точку прямую, параллельную прямой b.

Пример. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб (рис. 438). Найти угол между скрещивающимися прямыми ВС и DС₁.

Решения. 1) Прямая АD параллельна прямой ВС. Поэтому искомый угол будет равен углу между прямыми АD и DС₁.

2) Поскольку DС АD, то по теореме о трех перпендикуляры С₁D АD.

3) Следовательно, угол между прямыми ВС и DС₁ равен 90°.

Таким образом можно говорить о угол φ между двумя прямыми пространства. Очевидно, что этот угол φ удовлетворяет условию 0° ≤ φ ≤ 90°.

Перпендикулярными могут быть как прямые, которые пересекаются, так и скрещивающиеся прямые.

Две прямые называют перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

В рассматриваемом примере прямые ВС и DС₁ - перпендикулярны.