ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§11. РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

6. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называют длину их общего перпендикуляра.

Можно доказать, что такой совместный перпендикуляр существует, и к тому же только один.

Пример 1. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб с ребром 2 см (рис. 433). Найти расстояние между скрещивающимися прямыми А₁D₁ и DС.

Решения. DD₁ - общий перпендикуляр для прямых А₁D₁ и DС. Следовательно, искомое расстояние - это длина отрезка DD₁, которая равна 2 см.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми полезным может быть следующий факт.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равна расстоянию от одной из этих прямых до параллельной ей плоскости, проходит через вторую прямую.

Пример 2. АВСDА₁В₁С₁D₁ - куб с ребром 1 дм (рис. 430). Найти расстояние между скрещивающимися прямыми АВ₁ и D₁С.

Решения. 1) АВ₁ || DС₁, DС₁ DD₁C₁, поэтому по признаку параллельности прямой и плоскости АВ₁ || DD₁C₁.

2) ВА АD и ВА - проекция В₁А на плоскость АВС. Поэтому по теореме о три перпендикуляры АB₁ АD.

3) Поскольку АD DD₁ и АD DС, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости АD DD₁С₁.

4) Итак, АD - расстояние от прямой АВ до параллельной ей плоскости DD₁С₁, проходит через прямую D₁С. Поэтому АD - является также расстоянием между скрещивающимися прямыми АВ₁ и D₁С. Это расстояние равно 1 дм.