Углы, вписанные в круг

Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из этих частей называется плоским углом. Плоские углы с общими сторонами называются доповняльними. Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мере, называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами.
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в центре круга.
Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной меройдуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают это окружность, называется вписанным в окружность. Точки, в которых стороны вписанного угла пересекают окружность, разбивают окружность на две дуги. Центральный угол, что соответствует той из этих дуг, не содержит вершину угла, называется центральным углом, который соответствует данному вписанному углу.

На рисунке:
- вписанный;
- опирается на хорду BC;
- опирается на дугу BC;

- центральный угол, соответствующий вписанному углу АВС.
Теорема 1. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
Теорема 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рисунок ниже слева).
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду и вершины которых лежат по разные стороны от хорды, в сумме равны (рисунок справа).

Теорема 3. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
И наоборот, если вписанный угол прямой, он опирается на диаметр (см. рисунок ниже).


Теорема 4. Центр круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, - середина гипотенузы.
И наоборот, если центр описанной вокруг треугольника окружности - середина стороны, то этот треугольник - прямоугольный, а диаметр круга - его гипотенуза.
Теорема 5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузу, равна половине гипотенузы и разбивает треугольник на два равнобедренные треугольники (см. рисунок).
И наоборот, если медиана треугольника равна половине его стороны, то этот треугольник - прямоугольный, а медиана проведена из вершины прямого угла.
На рисунках приведены некоторые виды углов, связанных с окружностью.
Рассмотрим, как находить их градусные меры.