УРОК № 49

Тема. Скалярное произведение векторов

Цель урока: формирование понятия скалярного произведения векторов; формирование умений применять изученные определения и свойства к решению задач.

Тип урока: комбинированный.

Наглядность и оборудование: таблица «Декартовы координаты и векторы на плоскости»[13].

Требования к уровню подготовки учащихся: формулируют определение скалярного произведения, его свойства; применяют изученные определения и свойства к решению задач.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. 1. Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учеников во время их выполнения.
2. 2. Математический диктант

Даны два вектора:

Вариант 1

(1; 0), (0; -1);

Вариант 2

(-1; 0), (0; 1).

Найдите:

а) координаты вектора 2;

б) координаты вектора -;

в) длину вектора + ;

г) длину вектора - ;

д) координаты вектора 3 + 4;

есть) длину вектора 3 + 4.

II. Анализ результатов самостоятельной работы

III. Поэтапное восприятие и осознание нового материала

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и (обозначения: (·), или , или (; )) называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. · = || · ||cosφ (рис. 211).

Два ненулевые векторы тогда и только тогда взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, то есть · = 0 ( , ).

Свойства скалярного произведения

1. 1) ·= ·(переставной закон);
2. 2) 2 = ||2, или || = = ;
3. 3) ( + ) · = · + · (распределительный закон);
4. 4) (λ) · = λ(·) (связующий закон).

Примечание 1. Косинус угла между ненулевыми векторами и выражается формулой , которая следует из определения скалярного произведения.

Примечание 2. Свойство 2 скалярного произведения, а именно формула || = = = , позволяет вычислять длину вектора в общем случае.

Примечание 3. Распределительный закон выполняется для любого конечного числа слагаемых. Например, правильная формула ( + + ) · = · + · + ·.

Скалярное произведение двух векторов, которые заданы координатами, равно сумме произведений соответствующих координат.

Если заданы векторы (a1; a2) и (b1; b2) на плоскости, то ·= а1b1 + a2b2.

Решение задач

1. 1. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 13. Найдите скалярное произведение · (рис. 212).

Решение

Поскольку || = || = 13, A = 60°, то · = ||·||cosA = = 13 · 13 cos60° = 169 · = 84,5.

Ответ. 84,5.

1. 2. Заданы векторы = - 4, = 3 + 2, которые взаимно перпендикулярны. Вектора и - единичные векторы. Найдите угол между векторами и (в градусах).

Решение

Поскольку || = 1 и · = 0, то имеем · = ( - 4)(3 + 2) = 32 + 2- 12 - 8b2 = 3 · ||2 - 10|||| соsφ - 8||2 = 3 - 10cosφ - 8 = - 5 - 10cosφ,

тогда - 5 - 10cosφ = 0, соsφ = -, φ = 120°.

Ответ. 120°.

IV. Решение задач

1. 1. Найдите угол между векторами (1; 2) и .
2. 2. Даны вершины треугольника ABC: А, В, С. Найдите его углы.
3. 3. Докажите, что векторы (т; п) и (-n; m) перпендикулярны или равны нулю.
4. 4. Даны векторы (3; 4) и (m; 2). При каком значении т они перпендикулярны?
5. 5. Даны векторы (1; 0) и (1; 1). Найдите такое число х, чтобы вектор + x был перпендикулярен к вектору .
6. 6. Докажите, что когда и - единичные неколінеарні векторы, то векторы + и - отличные от нуля и перпендикулярны.
7. 7. Даны векторы и . Найдите абсолютную величину вектора + , если || = || = 1, а угол между векторами и равен 60°.

V. Домашнее задание

1. 1. Изучить теоретический материал.
2. 2. Решить задачу.

Даны вершины треугольника A(1; 1), B(4; 1), С(4; 5). Найдите косинусы углов этого треугольника.

VI. Подведение итогов урока
Задача класса

1. 1. Дайте определение скалярного произведения векторов и сформулируйте свойства скалярного произведения векторов.
2. 2. Сформулируйте свойство и признак перпендикулярных векторов.