ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§10. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ.

2. Перпендикулярность плоскостей.

Две плоскости, которые пересекаются, образуют четыре двугранные углы. Если один из них равен 90°, то другие, тоже равны 90º (рис. 421).

Две плоскости называются перпендикулярными, если пересекаясь они образуют прямые двугранные углы.

Если плоскости α и β перпендикулярны, то это записывают так: α β.

Важным является признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

На рисунке 421: α β и α. Тогда по признаку получим: α β.

Пример 1. Точка М равноудалена от вершин прямоугольника ABCD. Которым есть взаимное расположение плоскостей АВС и МАСС?

Решения. 1) Пусть точка О - точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD (рис. 422). Поскольку AM = МС, то ∆АМО = ∆СМО (по трем сторонам), поэтому AOM = СОМ = 90°. Итак, MO АС.

2) Аналогично доказываем, что MO BD.

3) Поскольку МО АС и MO BD, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости получим, что MO АВС.

4) Тогда по признаку перпендикулярности плоскостей имеем МАСС ABC. Следовательно, плоскости АВС и МАСС перпендикулярны.

Пример 2. Два равнобедренных треугольники АВС и АВС₁ имеют общую основу АВ = 16 см. Плоскости треугольников перпендикулярны. Найти расстояние между точками С и С₁, если АС = 10 см, АС₁ = 17 см.

Решения. 1) Пусть точка К - середина АВ, тогда СК - медиана и высота равнобедренного треугольника АВС, а С₁К - медиана и высота треугольника АВС₁ (рис. 423).

2) Поскольку СК АВ и С₁К АВ, то СКС₁ - линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями треугольников. По условию СКС₁ = 90°.