ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§9. ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ.

Теорема о трех перпендикуляры. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и наклонной. И наоборот, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

На рисунке 415 АН - перпендикуляр к плоскости α; АМ - наклонная. Через основание наклонной - точку М проведена прямая а. Теорема о трех перпендикуляры утверждает, что если а НМ, а то АМ, и наоборот, если а АМ, а то НМ.

Пример 1. С вершины квадрата АВСD проведен перпендикуляр АК к плоскости квадрата. Найти площадь квадрата, если КD = 5 см; КС = 13 см.

Решение (рис. 416). 1) АК АВС; КD - наклонная; АDБ - ее проекция. Так АD DС, то по теореме о трех перпендикуляры имеем КD DС.

3) Тогда площадь квадрата S = 8² = 64 (см²).

Пример 2. Стороны треугольника длиной 4 см, 13 см и 15 см. Через вершину наибольшего угла к плоскости треугольника проведен перпендикуляр и с его конца, что не принадлежит треугольнику, проведено перпендикуляр длиной 4 см до противоположной стороны этого угла. Найти длину перпендикуляра, проведенного к плоскости треугольника.

Решения. 1) В ∆АВС: АВ = 4 см; ВС = 13 см; АС = 15 см. Поскольку АС - наибольшая сторона треугольника, то АВС - наибольший угол треугольника. ВК АВС (рис. 417).

2) КМ АС, тогда по теореме о трех перпендикуляры: ВМ АС, то есть ВМ - высота ∆АВС. По условию: КМ = 4см.

3) Найдем площадь треугольника АВС по формуле Герона.

4) 3 другой стороны