Урок № 47

Тема. Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения и их решение

Цель: добиться сознательного понимания учащимися определение квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, названия коэффициентов квадратного уравнения; сформировать первичные умения формулировать определение квадратного уравнения и его видов (сводного и неполного), определять коэффициенты квадратного уравнения и по ним определять вид квадратного уравнения; подготовить учащихся к восприятию следующего материала (решения неполных квадратных уравнений).

Тип урока: усвоение знаний и умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект «Квадратные уравнения».

Ход урока

И. Организационный этап

На этом этапе урока следует предоставить учащимся информацию о:

· ориентировочный план изучения раздела;

· количество учебных часов;

· примерное содержание материала;

· основные требования к знаниям и умениям учащихся;

· ориентировочное содержание заданий, которые будут вынесены на контрольную работу.

(Эту информацию можно поместить на стенде «Справочно-информационный уголок» в кабинете математики и предложить учащимся для самостоятельного ознакомления в неурочное время).

II. Проверка домашнего задания

Если анализ контрольной работы учащиеся выполняли в письменной форме, учитель собирает тетради на проверку.

III. Формулировка цели и задач урока

С целью осознания учащимися логики изучения материала, предлагаем им схему, воспроизводящую основные содержательные линии школьного курса алгебры и связь между ними:

Подставив в эту схему иррациональное число и обобщив изученный материал, приходим к выводу, что после ознакомления с видами и способами преобразований выражений, содержащих квадратный корень, следует перейти к изучению всех видов уравнений (кроме изученных ранее уравнений х2 = а и , решение которых связано с изученными свойствами иррациональных выражений. Таким образом формулируется основная цель урока.

IV. Актуализация опорных знаний и умений

@ С целью успешного восприятия учащимися учебного материала урока следует активизировать такие знания и умения: понятие многочлена стандартного вида и его коэффициентов; выполнение арифметических действий с многочленами, выполнения равносильных преобразований уравнений, выполнение арифметических действий с действительными числами.

Выполнение устных упражнений

1. Представьте в виде многочлена выражение: (х - 2)(2 + х); (х - 3)2; (у3 - у)∙в; (у - 1)(у + 2).

2. Или равносильны уравнения:

а) 3х - 2 = х + 3 2х - 5 = 0;

б) 5х - 1 = 3х - х2 и х2 + 2х - 1 = 0;

в) 0,5 х - 3 = 0 и х - 6 = 0;

г) 5х2 - 10х + 25 = 0 х2 - 2х + 5 = 0?

Обоснуйте ответы.

3. Решите уравнение:

а) у - 7 = 0; б) х + 0,5 = 0; в) 8х = 0; г) 2х - = 0; д) в + = 0; е) а(а - 1) = 0; ж) ; з) х2 - 4 = 0; ы) 2х2 + 8 = 0; е) х2 - 3 = 0.

V. Усвоение знаний

План изучения нового материала

1. Определение квадратного уравнения. Коэффициенты квадратного уравнения.

2. Сводное квадратное уравнение.

3. Неполное квадратное уравнение. Виды неполных квадратных уравнений.

@ Формулируя определение квадратного уравнения (как уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0), чтобы предупредить ошибки в определении коэффициентов квадратного уравнения, важно указать учащимся на тот факт, что:

· знаки «+» в записи левой части уравнения только показывают, что левая часть уравнения является многочленом (то есть суммой одночлен). Поэтому коэффициенты квадратного уравнения определяются так же, как и коэффициенты многочлена стандартного вида (желательно восстановить в памяти учащихся эти знания при решении соответствующих устных упражнений на этапе актуализации знаний);

· все коэффициенты квадратного уравнения (кроме а) могут приобретать любых действительных значений (в том числе могут быть нулем). Поэтому, чтобы ученики не имели проблем, воспринимая понятие неполного квадратного уравнения, в начале знакомства с понятием квадратного уравнения следует предложить достаточное количество примеров квадратных уравнений, коэффициенты которых приобретают различные по знаку и видом значений.

Для понимания определений видов квадратных уравнений важно, чтобы ученики усвоили названия коэффициентов квадратного уравнения. Этому будет способствовать многократное повторение материала при выполнении устных и письменных упражнений.

Представление о видах квадратных уравнений формируется по традиционной схеме. Эти виды выделяются во время рассмотрения особых случаев коэффициентов квадратного уравнения.

VI. Формирование умений

Выполнение устных упражнений

1. Укажите среди представленных уравнений квадратные: а) 5х - 2 = 0; б) х2 - х + 1 = 0; в) ; г) ; д) х3 - х = 0; е) 5х2 + х = 0.

Для квадратных уравнений назовите значения их коэффициентов.

2. Среди уравнений выберите: 3х2 - 2х + 7 = 0; х2 - 9 = 0; 2х2 + 7 - 5х2 = 0; 6х2 = 0; 3 - х2 = 0.

а) сводные;

б) неполные квадратные уравнения.

3. Запишите уравнение в виде ах2 + bх + с = 0 (если это возможно): -5 - 2х + х12 = 0; х2 - 3 = 0; 5х - х2 = 0.

Выполнение письменных упражнений

Для реализации дидактической цели урока следует выполнить задание такого содержания:

1. Нахождение коэффициентов квадратной уравнения.

1) Заполните таблицу:

2) Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты:

а) 5х2 - 9х + 4 = 0;

б) х2 + 3х - 10 = 0;

в) -х2 - 8х + 1 = 0;

г) -4х2 + 5х = 0;

д) 6х2 - 30 = 0;

есть) 9х2 = 0.

2. Запись квадратного уравнения с заданными коэффициентами. Запишите квадратное уравнение, коэффициенты которого равны:

      а) а = 2; b = -3; с = 1;

      б) а = 3; b = 0; с = -7;

в) а = -1; b = 4; с = 5;

г) а = - 6; b = -2,4; с = ;

д) а = 1; b = ; с = 0;

есть) а = 2; b = 0; с = 0.

3. Запись сводного квадратного уравнения, равносильного данному. Запишите сведено квадратное уравнение, равносильное данному:

а) 2х2 + 2х - 6 = 0;

б) -4х2 - 10х + 8 = 0.

4. Возведение целого уравнения вида ах2 + bх + с = 0 путем тождественных преобразований.

Сведите уравнение к виду ах2 + bх + с = 0:

a) (2x - 1)(2x + 1) = x(2x + 3);

б) (3х + 2)2 = (х + 2)(x - 3);

в) (х + 1)(х + 2) = (2х - 1)(x - 2);

г) (х + 3)(3х - 2) = (4х + 5)(2х - 3).

5. На повторение: задачи, решение которых предусматривает выделение полного квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

6. Логические упражнения и задачи повышенного уровня сложности для учащихся, имеющих достаточный и высокий уровни знаний.

1) Сравните с нулем значение дроби (ответ запишите в виде неравенства): а) ; б) .

2) Удалите лишний запись:

а) 3x2 - 5x + 1 = 0;

б) х2 - 4х = 0;
в) (х - 1)2 - (3х - 1)2 = 0;

г) (х - 1)2 - (х + 2)2 = 0.

@ Цель первых 4-х видов письменных заданий (см. выше) - добиться усвоения учащимися определение квадратного уравнения и его разновидностей, сформировать у учащихся умения правильно называть и определять коэффициенты квадратного уравнения, а также повторить виды равносильных преобразований уравнений и освежить в памяти способы действий во время выполнения этих преобразований. Задачи на повторение имеют целью подготовить учеников к восприятию ими материала следующего раздела «Формула корней квадратного уравнения».

VII. Итоги урока

В каком случае правильно определены коэффициенты?

В уравнении 5х + х2 - 4 = 0 коэффициенты a, b, c соответственно равны: а) 1; 5; -4; б) 5; 1;-4; в) -4; 5; 1; г) 1; -4; 5.

VIII. Домашнее задание

1. Изучить содержание теоретического материала урока.

2. Решить упражнения на закрепление изученного материала (аналогичных по содержанию упражнений классной работы).

3. На повторение: упражнения на выделение полного квадрата двучлена.