ГЕОМЕТРИЯ

Раздел ІІ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§4. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ.

3. Свойства параллельных плоскостей.

Рассмотрим два свойства параллельных плоскостей.

1) Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то прямые пересечения параллельны.

На рисунке 383 Тогда по свойству а || b.

2) Отрезки параллельных прямых, концы которых принадлежат двум параллельным плоскостям, равны между собой.

На рисунке 384 А₂ β, ₂ b, В₂ β. Тогда по свойству А₁А₂ = В₁В₂.

Заметим, что на рисунке 384 четырехугольник А₁В₁B₂A₂ является параллелограммом.

Пример 1. Отрезки А₁А₂ и В₁В₂ параллельных прямых а и b содержатся между параллельными плоскостями α и β. (рис. 384). Найти: 1) А₁А₂, если В₁В₂ = 5 см; 2) A₂A₁B₁, если A₁A₂B₂ = =100°.

Решения. Поскольку А₁А₂В₂В₁ - параллелограмм, то А₁А₂ = В₁В₂ = 5 см; A₂A₁B₁ = 180° - 100° = 80°.

Пример 2. Плоскости α и β параллельные. Через точку К, лежащую между плоскостями, проведены прямые а и b, которые пересекают плоскость α в точках А₁ и В₁, плоскость β в точках А₂ и В₂ (рис. 385). Найти длину отрезка А₂В₂, если А₁В₁ = 6; КА₁ = 8; КА₂ = 4.

Решения. 1) Проведем через прямые А₁А₂ и В₁В₂, пересекают плоскость. Эта плоскость пересекает плоскость α по прямой А₁В₁, а плоскость β по прямой А₂В₂.

2) По свойству параллельных плоскостей имеем А₁В₁ ll А₂В₂.

3) В₁А₁А₂ = А₁А₂В₂ (внутренние разносторонние углы при параллельных прямых А₁В₁ и А₂В₂ и секущей А₁А₂).

4) A₁B₁B₂ = B₁B₂A₂ (внутренние разносторонние углы при параллельных прямых А₁В₁ и А₂В₂ и секущей В₁В₂).

5) Поэтому ∆КА₁В₁ ∆КА₂В₂ (за двумя углами) и А₂В₂ = 3.